方程式・不等式への応用の練習問題（全4問・解答つき）

与えられた方程式 ③ は a=-x³+3x² と変形できるので、この方程式の実数解は、 y=-x³+3x² のグラフと y=a のグラフの交点の x 座標に等しい。

ここで、 f(x)=-x³+3x² とおくと f'(x)=-3x²+6x=-3x(x-2) となるので、f(x) の増減表は

となる。

1. 上の増減表より、 y=f(x) のグラフは次の図のようになる。

   

   これに y=a のグラフを重ねたとき、 y=f(x) のグラフとの交点が3つになるとき、方程式 ③ が3つの異なる実数解をもつ。

   y=a は x 軸に平行な直線だから、交点が3つになるのは、この直線が極小値 0 と極大値 4 の間にあるときである。よって、このような a の値の範囲は、上の図より 0<a<4 である。

2. y=f(x) と y=a のグラフの交点の x 座標が、方程式 ③ の解である。

   

   α<β<γ であるから、β は3つの交点のうち真ん中のものの x 座標である。よって、上の図より β のとり得る値の範囲は、 0<β<2 となる。

与えられた方程式 ④ の実数解は、 y=x³-3x²-3a(a-2)x-1 のグラフと x 軸（ y=0 のグラフ）の交点の x 座標に等しい。

ここで、 f(x)=x³-3x²-3a(a-2)x-1 とおくと f'(x)=3x²-6x-3a(a-2)=3(x-a)(x+a-2) となるので、 x=a, -a+2 で f'(x) の値は 0 となる。

ここで、a と -a+2 が等しい場合、つまり a=-a+2 ⇔ a=1 の場合には、 f'(x)=3(x-1)² となる。

このとき、増減表は以下のようになる。

このとき、f(x) は増加するだけなので、 y=f(x) のグラフが x 軸と3つの交点をもつことはない。したがって、以下、 a≠1 の場合について考える。

a≠1 の場合の増減表は、a と -a+2 のどちらが大きいかによって次の2種類になる。

a<1 のとき（このとき a<-a+2）

a>1 のとき（このとき -a+2<a）

a<1 の場合、f(a) が極大値、 f(-a+2) が極小値である。 y=f(x) と x 軸が3つの交点をもつのは、極大値が x 軸より上、極小値が x 軸より下にあるときだから、その条件は f(a)>0 かつ f(-a+2)<0 ⑤

a>1 の場合は極大と極小が入れかわるので、 y=f(x) と x 軸が3つの交点をもつ条件は f(-a+2)>0 かつ f(a)<0 ⑥

これらの条件は、どちらも f(a) と f(-a+2) が異符号であることと同値であるから、⑤ と ⑥ は f(a)・ f(-a+2)<0 とまとめることができる。ここで f(a)=-2a³+3a²-1=-(a-1)²(2a+1) f(-a+2)=(a-1)²(2a-5) であるから f(a)f(-a+2)<0 ⇔ (a-1)⁴(2a+1)(2a-5)>0 ⇔ (2a+1)(2a-5)>0

より、 a<-1/2, 5/2<a が答えとなる。

x³≧6x²-9x ⇔ x³-6x²+9x≧0 であるから、 f(x)=x³-6x²+9x が x≧0 で、常に f(x)≧0 となることを示せばよい。 f'(x)=3x²-12x+9=3(x-1)(x-3) となるので、 x≧0 における増減表は以下のようになる。

これより、 y=f(x) のグラフは次の図のようになる。

増減表より、 x≧0 における f(x) の最も小さい値は f(0)=0 と f(3)=0 であり、どちらも 0 である。したがって、f(x) は x≧0 で常に f(x)≧0 を満たす。

［左辺 - 右辺 >0 を考える方法］

x³-6x²>a ⇔ x³-6x²-a>0 であるから、 f(x)=x³-6x²-a が x≧0 で、常に f(x)>0 となるための a の値の範囲を求めればよい。 f'(x)=3x²-12x=3x(x-4) となるので、 x≧0 における増減表は以下のようになる。

また、f(0)、f(4) の値は f(0)=-a f(4)=4³-6・4²-a=-32-a である。

x≧0 で、常に f(x)>0 となるには、 y=f(x) のグラフは次の図のようになればよい。

増減表より、 x≧0 における f(x) の最小値は x=4 のときの f(4)=-32-a である。グラフ全体が x 軸より上にあるには、この最小値が正であればよいから -32-a>0 ⇔ a<-32

［文字定数を分離する方法］

f(x)=x³-6x² とおく。この f(x) が x≧0 で、常に f(x)>a となるための a の値の範囲を求めればよい。 f'(x)=3x²-12x=3x(x-4) となるので、 x≧0 における増減表は以下のようになる。

また、f(0)、f(4) の値は f(0)=0 f(4)=4³-6・4²=-32 である。

y=f(x) のグラフは次の図のようになる。

x≧0 における f(x) の最小値は x=4 のときの -32 である。 x≧0 で常に f(x)>a となるのは、a がこの最小値より小さいときだから、求める範囲は a<-32 となる。