高次方程式の練習問題

Question 1

次の方程式を複素数の範囲で解け．
(1) x³=27
(2) x³=-8

Accepted Answer

(1) x³=27
⇔ x³-27=0
⇔ (x-3)(x²+3x+9)=0
⇔ x-3=0, x²-3x+9=0
⇔ x=3, 3±3√3i/2
(2) x³=-8
⇔ x³+8=0
⇔ (x+2)(x²-2x+4)=0
⇔ x+2=0, x²-2x+4=0
⇔ x=-2, 1±√3i
3乗してa になる数をa の3乗根といい，方程式x³ = a の解として求めることができる． さきほどの例から，1の3乗根は1, (-1±√3i)/2である．

Question 2

1の3乗根のうち，虚数であるものの1つをωとするとき，次のことを証明せよ．
(1) ω³ = 1
(2) ω² + ω + 1 = 0
(3) 別のもう1つの虚数解はωでありω²と一致する．

Accepted Answer

(1) ωはx³ = 1の解であるので明らか．
(2) x³ = 1を解くと
x³=1
⇔ x³-1=0
⇔ (x-1)(x²+x+1)=0
⇔ x-1=0 , x²+x+1=0
⇔ x=1 , (-1±√3i)/2
このうち，(-1+√3i)/2または(-1-√3i)/2がωであるが，これらはどちらも，方程式x² + x + 1 = 0の解であるので，ω² + ω + 1 = 0である．
(3) (-1+√3i)/2と(-1-√3i)/2は共役の関係にあり
((-1+√3i)/2)²
=(1-2√3i-3)/4
=(-1-√3i)/2
((-1-√3i)/2)²
=(1+2√3i-3)/4
=(-1+√3i)/2
より，ω=ω²が成り立つ．

Question 3

次の方程式を複素数の範囲で解け．
(1) x⁴-13x²+9=0
(2) x⁴-2x²-3=0
(3) x⁴+x²-20=0
(4) (x²+2x)²+4(x²+2x)+3=0

Accepted Answer

(1) x⁴-13x²+9=0
⇔ x²=13±√133/2
⇔ x=±√(13±√133/2)
(2) x⁴-2x²-3=0
⇔ (x²+1)(x²-3)=0
⇔ x²+1=0, x²-3=0
⇔ x=±i, ±√3
(3) x⁴+x²-20=0
⇔ (x²+5)(x²-4)=0
⇔ x²+5=0, x²-4=0
⇔ x=±√5i, ± 2
(4) (x²+2x)²+4(x²+2x)+3=0
⇔ (x²+2x+1)(x²+2x+3)=0
⇔ x²+2x+1=0, x²+2x+3=0
⇔ x=-1, -1±√2i

Question 4

次の方程式を解け．
(1) x³+3x²-4=0
(2) 2x³-7x²+9=0
(3) x⁴-6x³+7x²+6x-8=0
(4) x⁴-8x³-2x²+72x-63=0

Accepted Answer

(1) f(x) = x³ + 3x² − 4とおく．
f(1)=1+3-4=0
であるから，因数定理よりf(x)はx – 1を因数にもつのがわかる.　　　　　　　 先にf ( − 2) = 0を見つけてもよい
よって，f(x) = 0は
(x-1)(x²+4x+4)=0
⇔ (x-1)(x+2)²=0
⇔ x=1, -2
組立除法を使うなら図
(2) f(x) = 2x³ − 7x² + 9とおく．
f(-1)=-2-7+9=0
であるから，因数定理よりf(x)はx + 1を因数にもつのがわかる． 先にf (3) = 0やf(3/2)=0を見つけてもよい
よって，f(x) = 0は
(x+1)(2x²-9x+9)=0
⇔ (x+1)(2x-3)(x-3)=0
⇔ x=-1, 2/3, 3
組立除法を使うなら図
(3) f(x) = x⁴ − 8x³ + 7x² + 6x – 8とおく．
f(1)=1-6+7+6-8=0
であるから，因数定理よりf(x)はx – 1を因数にもつのがわかる． 　 先にf ( − 1) = 0やf (2) = 0などを見つけてもよい
よって
f(x)=(x-1)(x³-5x²+2x+8)
組立除法を使うなら図
さらに，g(x) = x³ − 5x² + 2x + 8とおくと
g(-1)=-1-5-2+8=0
であるから，因数定理よりg(x)はx + 1を因数にもつのがわかる． 先にg(2) = 0やg(4) = 0などを見つけてもよい
よって
g(x)=(x+1)(x²-6x+8)
=(x+1)(x-2)(x-4)
組立除法を使うなら図
より，f(x) = (x + 1)(x − 1)(x − 2)(x − 4)である．
以上より，f (x) = 0の解は，x=-1, 1, 2, 4となる．
(4) f (x) = x⁴ − 8x³ − 2x² + 72x − 63とおく．
f(1)=1-8-2+72-63=0
であるから，因数定理よりf (x)はx – 1を因数にもつのがわかる． 先にf(3) = 0やf ( − 3) = 0などを見つけてもよい
よって
f(x)=(x-1)(x³-7x²-9x+63)
組立除法を使うなら図
さらに，g(x) = x³ − 7x² − 9x + 63とおくと
g(3)=27-63-27+63=0
であるから，因数定理よりg(x)はx – 3を因数にもつのがわかる 先にg( − 3) = 0やg(7) = 0などを見つけてもよい．
よって
g(x)=(x-3)(x²-4x-21)
=(x-3)(x+3)(x-7)
組立除法を使うなら図
より，f(x) = (x − 1)(x − 3)(x + 3)(x − 7)である．
以上より，f (x) = 0の解は，x=1, 3, -3, 7となる．
上の例題の(1)のように，方程式(x − 1)(x + 2)² = 0の解x = − 2を，この方程式の2重解（double solution）という． また，たとえば方程式(x − 1)(x + 2)³ = 0の解x = − 2を，この方程式の3重解(triple solution)という．
複素数の範囲では，方程式の2重解を重なった2個の解，3重解を重なった3個の解などと数えることにすると， 2次方程式では2個の解，3次方程式は3個の解，4次方程式では4個の解をもつ． 一般の場合では，次のことが知られている．

Question 5

3次方程式3x³ − (3 + a)x² + a = 0が重解をもつとき，定数a の値とそのときの解をすべて求めよ． ただし，a は実数である．

Accepted Answer

3x³ − (3 + a)x² + a
= (x − 1)(3x² − ax − a)であるので，f (x) = 3x² − ax – aとおくと，
3次方程式が重解をもつためには，f (x) = 0がx = 1に解をもつか，f (x) = 0が重解をもてばよい．
1)f (x) = 0がx = 1に解をもつとき
f (1) = 0より
3-a-a=0⇔ a=3/2
このとき，f(x)=3x²-3/2x-3/2であるから，3次方程式の解は
(x-1)(3x²-3/2x-3/2)=0
⇔ 3/2(x-1)²(2x+1)=0
⇔ x=1, -1/2
2)f (x) = 0が重解をもつとき
判別式を考えて
D=a²+12a=0⇔ a=0, -12
となる．
a = 0のとき
f(x)=0
⇔ 3x²=0⇔ x=0
であるので，3次方程式の解はx=1, x=0である．
a = − 12のとき
f(x)=0
⇔ 3x²+12x+12=0
⇔ 3(x+2)²=0
⇔ x=-2
であるので，3次方程式の解はx=1, x=-2である．

Question 6

次の不等式を解け．
(1) x³≧27
(2) x³<-8
(3) x³-9x<0
(4) x³-x²≧0

Accepted Answer

(1) x³≧27
⇔ x³-27≧0
⇔ (x-3)(x²+3x+9)≧0
a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)を使った
いま，x²+3x+9=(x+3/2)²+27/40なので， (x-3)(x²+3x+9)≧0となるのは，x-3≧0，つまりx≧3である．
(2) x³<-8
⇔ x³+8<0
⇔ (x+2)(x²-2x+4)<0
a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)を使った
いま，x²-2x+4=(x-1)²+30なので， (x + 2)(x2 − 2x + 4) < 0となるのは，x + 2 < 0，つまりx<-2である．
(3) x³-9x<0
⇔ x(x²-9)<0
⇔ (x+3)x(x-3)<0
いま，(x + 3)x(x − 3)の符号はx の値に応じて，以下のようにまとめることができる．
| x | … | -3 | … | 0 | … | 3 | … |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| | | | | | | | |
| x+3 | - | 0 | + | + | + | + | + |
| x | - | - | - | 0 | + | + | + |
| x-3 | - | - | - | - | - | 0 | + |
| | | | | | | | |
| (x+3)x(x-3) | - | 0 | + | 0 | - | 3 | + |
これより，(x + 3)x(x − 3) < 0を満たすのは，x< -3 , 0< x< 3である．
【別解：3次関数のグラフを使う方法】　　　 この解法について詳しくは3次関数のグラフを使った3次不等式の解法で学ぶ
f(x) = x3 − 9x < 0とおくと
f(x)=x(x²-9)=(x+3)x(x-3)
よりy = f (x)のグラフは図となるので，f (x) < 0を満たすのは，x < -3 , 0 < x < 3である．
(4) x³-x²≧0
⇔ x²(x-1)≧0
いま，x²(x − 1)の符号はx の値に応じて，以下のようにまとめることができる．
| x | … | 0 | … | 1 | … |
|---|---|---|---|---|---|
| | | | | | |
| x² | - | 0 | + | + | + |
| x-1 | - | - | - | 0 | + |
| | | | | | |
| x²(x-3) | + | 0 | - | 0 | + |
これより，x²(x-1)≧0を満たすのは，x=0 , 1≦ xである．
【別解：3次関数のグラフを使う方法】　　　 この解法について詳しくは3次関数のグラフを使った3次不等式の解法で学ぶ
f(x) = x³ – x² < 0とおくと
f(x)=x²(x-1)
よりy = f (x)のグラフは図となるので，f(x)≧0を満たすのは，x=0 , 1≦ xである．

Question 7

次の2次方程式の2解をα，βとする．α + βおよびαβの値を求めよ．
(1) x²-5x+7=0
(2) 3x²+8x-6=0

Accepted Answer

(1) 2次方程式の解と係数の関係から
α+β=5
αβ=7
(2) 式全体を3で割り，x²+8/3x-2=0．2次方程式の解と係数の関係から
α+β=-8/3
αβ=-2

Question 8

2次方程式2x² − 6x + 7 = 0の2解をα，βとするとき，次の式の値を求めよ．
(1) α²+β²
(2) (α-2)(β-2)
(3) 1/α²+1/β²
(4) α³+β³
(5) α⁴+β⁴
(6) α⁵+β⁵

Accepted Answer

2次方程式の解と係数の関係より
α+β=3 , αβ=7/2
1
である．
(1) α²+β²
=(α+β)²-2αβ 対称式は基本対称式の組合せであらわすことができる対称式の定理
=3²-2・7/2
=9-7=2
を使った
(2) (α-2)(β-2)
=αβ-2(α+β)+4
対称式は基本対称式の組合せであらわすことができる対称式の定理
=7/2-2・ 3+4
=3/2
を使った
【別解】 2x² − 6x + 7 = 2(x − α)(x − β)の両辺にx = 2を代入すると
3=2(2-α)(2-β)
⇔ (α-2)(β-2)=3/2
(3) 1/α²+1/β²
=(α²+β²)/α²β²　　　 対称式は基本対称式の組合せであらわすことができる対称式の定理
=2/(7/2)²
=8/49
1.とを使った
(4) α³+β³
=(α+β)(α²-αβ+β²)
対称式は基本対称式の組合せであらわすことができる対称式の定理
=3(2-7/2)
=-9/2
1.とを使った
(5) α⁴+β⁴
=(α²+β²)²-2α²β²
対称式は基本対称式の組合せであらわすことができる対称式の定理
=2²-2(7/2)²
=-41/2
1.とを使った
(6) α⁵+β⁵
=(α³+β³)(α²+β²)-α²β²(α+β)
対称式は基本対称式の組合せであらわすことができる対称式の定理
=(-9/2)・ 2-(7/2)²・ 3
=-183/4
1.，4.とを使った

Question 9

α，βに関する連立方程式
cases
α+β=-a …(i)
αβ=b …(ii)
cases
の解は，2次方程式x² + ax + b = 0の2解であることを証明せよ．

Accepted Answer

(i)より
β=-a-α …(iii)
これを(ii)に代入して
α(-a-α)=b
⇔ α²+aα+b=0 …(iv)
これより，αは2次方程式x² + ax + b = 0の解であることがわかる．
また，このときx² + ax + bのx にβを代入すると
β²+aβ+b
=(-a-α)²+a(-a-α)+b
=α²+aα+b
=0
(iii)より
△(iv)より
となり，βも2次方程式x² + ax + b = 0の解であることがわかる．

Question 10

次の連立方程式を解け．
(1) x+y=3
xy=-10
(2) x+y=-5/2
xy=-3/2
(3) x+y=-2
x²+y²=20
(4) xy=1
x²+y²=1

Accepted Answer

(1) 和が3，積が − 10となる2数は，2次方程式t² − 3t − 10 = 0の解である．
t²-3t-10=0
⇔ (t-5)(t+2)=0
⇔ t=-2, 5
より，(x, y)=(-2, 5), (5, -2)．
(2) 和が-5/2，積が-3/2となる2数は，2次方程式t²+5/2t-3/2=0の解である．
t²+5/2t-3/2=0
⇔ (t-1/2)(t+3)=0
⇔ t=1/2, -3
より，(x, y)=(1/2, -3), (-3, 1/2)．
(3) 連立方程式を変形していくと
cases
x+y=-2
x²+y²=20
cases
⇔
cases
x+y=-2
(x+y)²-2xy=20
cases
⇔
cases
x+y=-2
(-2)²-2xy=20
cases
⇔
cases
x+y=-2
xy=-8
cases
和が − 2，積が − 8となる2数は，2次方程式t² + 2t − 8 = 0の解である．
t²+2t-8=0
⇔ (t+4)(t-2)=0
⇔ t=-4, 2
より，(x, y)=(-4, 2), (2, -4)．
(4) 連立方程式を変形していくと
cases
xy=1
x²+y²=1
cases
⇔
cases
xy=1
(x+y)²-2xy=1
cases
⇔
cases
xy=1
(x+y)²-2・ 1=1
cases
⇔
cases
xy=1
x+y=±√3
cases
和が±√3，積が1となる2数は，2次方程式t²∓√3t+1=0の解である．
t²-√3t+1=0
⇔ t=(√3± i)/2
また
t²+√3t+1=0
⇔ t=(-√3± i)/2
より
(x, y)=
((√3+i)/2, (√3-i)/2),
((√3-i)/2, (√3+i)/2),
((-√3+i)/2, (-√3-i)/2),
((-√3-i)/2, (-√3+i)/2)

Question 11

次の3次方程式の3解をα，β，γとする． α + β + γ，αβ + βγ + γαおよびαβγの値を求めよ．
(1) x³-5x²+7x-1=0
(2) 3x³+8x²-6x+5=0

Accepted Answer

(1) 3次方程式の解と係数の関係から
α+β+γ=5
αβ+βγ+γα=7
αβγ=1
(2) 式全体を3で割り，x³+8/3x²-2x+5/3=0．3次方程式の解と係数の関係から
α+β+γ=-8/3
αβ+βγ+γα=-2
αβγ=-5/3

Question 12

3次方程式x³ − 3x + 5 = 0の3解をα，β，γとするとき，次の式の値を求めよ．
(1) α²+β²+γ²
(2) (α+1)(β+1)(γ+1)
(3) 1/α+1/β+1/γ
(4) α³+β³+γ³

Accepted Answer

3次方程式の解と係数の関係より
α+β+γ=0,
αβ+βγ+γα=-3,
αβγ=-5
1
である．
(1) α²+β²+γ²
=(α+β+γ)²-2(αβ+βγ+γα)
=0²-2・(-3)
=6
を使った
(2) (α+1)(β+1)(γ+1)
=αβγ+αβ+βγ+γα+α+β+γ+1
=-5-3+0+1
=-7
を使った
【別解】
x³ − 3x + 5 = (x − α)(x − β)(x − γ)の両辺にx = − 1を代入すると
7=(-1-α)(-1-β)(-1-γ)
⇔ (α+1)(β+1)(γ+1)=-7
(3) 1/α+1/β+1/γ
=(αβ+βγ+γα)/αβγ
=(-3)/(-5)
=3/5
を使った
(4) α³+β³+γ³
=(α+β+γ){α²+β²+γ².
. -(αβ+βγ+γα)}+3αβγ
=0・{6-(-3)}+3・(-5)
=-15
1.とを使った

Question 13

a3，a2，a1，a0を実数とするとき，これらを係数とする3次方程式
a3x³+a2x²+a1x+a0=0
1
がx = αという複素数解をもつとき，共役な複素数x=αも解にもつことを証明せよ．

Accepted Answer

がx = αという複素数解をもつとすると，
にαを代入して
a3α³+a2α²+a1α+a0=0
2
が成り立つ．
いま，の左辺にx=αを代入してみると
a3α³+a2α²+a1α+a0
=a3α³+a2α²+a1α+a0 共役な複素数の性質
=a3 α³+a2 α²+a1 α+a0 複素数の実数条件と純虚数条件
=a3α³+a2α²+a1α+a0 共役な複素数の性質
=a3α³+a2α²+a1α+a0 共役な複素数の性質
=0
より
となるので，は共役な複素数解x=αをもつのがわかる．
一般に次のことがいえる．

Question 14

実数係数の3次方程式
x³+ax²+bx+6=0
1
がx=1+√2iを解にもつとき，実数a，bの値と他の解を求めよ．

Accepted Answer

がx=1+√2iを解にもつとき，それと共役な
複素数1-√2iも解にもつ.　　　　　 実数係数のn次方程式の共役複素数解を使った
よって，は
{x-(1+√2i)}{x+(1-√2i)}
=x²-2x+3
で割り切れるから
x³+ax²+bx+6=(x²-2x+3)(x+c)
とおける．右辺を展開すると
(x²-2x+3)(x+c)=x³+(-2+p)x²
+(3-2p)x+3p
となるので，係数を比較すると
cases
a=-2+p
b=3-2p
6=3p
cases⇔
cases
p=2
a=0
b=-1
cases
他の解は，x=1-√2i, -2．
【別解：『3次方程式の解と係数の関係』を使う】
がx=1+√2iを解にもつとき，それと共役な 複素数1-√2iも解にもつ. 実数係数のn次方程式の共役複素数解を使った
α=1+√2i,β=1-√2iとおき，残りひとつの解をγとすると3次方程式の解と係数の関係より
cases
α+β+γ=-a
αβ+βγ+γα=b
αβγ=-6
cases
⇔ cases
(1+√2i)+(1-√2i)+γ=-a
(1+√2i)(1-√2i)
+{(1+√2i)+(1-√2i)}γ=b
(1+√2i)(1-√2i)γ=-6
cases
⇔ cases
2+γ=-a
3+2γ=b
3γ=-6
cases
これを解くと，γ=-2 ，a=0,b=-1となる．
他の解は，x=1-√2i, -2．

$x$	$\dots$	$-3$	$\dots$	$0$	$\dots$	$3$	$\dots$

$x+3$	$-$	$0$	$+$	$+$	$+$	$+$	$+$
$x$	$-$	$-$	$-$	$0$	$+$	$+$	$+$
$x-3$	$-$	$-$	$-$	$-$	$-$	$0$	$+$

$(x+3)x(x-3)$	$-$	$0$	$+$	$0$	$-$	$3$	$+$

$x$	$\dots$	$0$	$\dots$	$1$	$\dots$

$x²$	$-$	$0$	$+$	$+$	$+$
$x-1$	$-$	$-$	$-$	$0$	$+$

$x²(x-3)$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$

$x$	$\dots$	$-2$	$\dots$	$1$	$\dots$

$x-1$	$-$	$-$	$-$	$0$	$+$
$(x+2)²$	$+$	$0$	$+$	$+$	$+$

$(x-1)(x+2)²$	$-$	$0$	$-$	$0$	$+$

$x$	$\dots$	$-1$	$\dots$	$3/2$	$\dots$	$3$	$\dots$

$x+1$	$-$	$0$	$+$	$+$	$+$	$+$	$+$
$2x-3$	$-$	$-$	$-$	$0$	$+$	$+$	$+$
$x-3$	$-$	$-$	$-$	$-$	$-$	$0$	$+$

$f(x)$	$-$	$0$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$

$x$	$\dots$	$-1$	$\dots$	$1$	$\dots$	$2$	$\dots$	$4$	$\dots$

$x+1$	$-$	$0$	$+$	$+$	$+$	$+$	$+$	$+$	$+$
$x-1$	$-$	$-$	$-$	$0$	$+$	$+$	$+$	$+$	$+$
$x-2$	$-$	$-$	$-$	$-$	$-$	$0$	$+$	$+$	$+$
$x-4$	$-$	$-$	$-$	$-$	$-$	$-$	$-$	$0$	$+$

$f(x)$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$

高次方程式の練習問題（全15問・解答つき）

問題1簡単な高次方程式

問題22次方程式に帰着できる高次方程式

問題3高次方程式

問題4方程式の重解条件

問題5簡単な高次不等式

問題6高次不等式

問題72次方程式の解と係数の関係

問題82次方程式の解と係数の関係の利用

問題92次方程式の解と係数の関係の逆

問題102次方程式の解と係数の関係の逆の利用

問題113次方程式の解と係数の関係

問題123次方程式の解と係数の関係の利用

問題13実数係数の $n$ 次方程式の共役複素数解

覚えておきたい事項（2問）

暗記11の3乗根 $ω$

暗記2実数係数の3次方程式の共役複素数解