直線の方程式の練習問題

Question 1

次の直線の方程式を求めよ。
(1) (3, 1)を通り、傾きが − 3
(2) ( − 3, − 1)を通り、傾きが-1/2

Accepted Answer

(1) y-1=-3(x-3)
⇔ y=-3x+10
(2) y-(-1)=-1/2{x-(-3)}
⇔ y=-(1/2)x-5/2

Question 2

次の2点を通る直線の方程式を求めよ。
(1) (1, 2), (3, 4)
(2) (2, 1), ( − 1, − 3)
(3) (5, 3), ( − 4, 3)

Accepted Answer

(1) y-2=(4-2)/(3-1)(x-1) ⇔ y=x+1
(2) y-1=(-3-1)/(-1-2)(x-2)
⇔ y=43x-53
(3) y-3=0 ⇔ y=3

Question 3

(1) 直線y = 2x + k（k はすべての実数）はどのような直線の集まりか。
(2) 直線y = kx – 3（k はすべての実数）はどのような直線の集まりか。
(3) 直線y − 3 = k(x + 2)（k はすべての実数）はどのような直線の集まりか。

Accepted Answer

(1) 傾きが2である直線の集まり
になる. （注）切片の場所は分からないが、傾きは必ず2である。
(2) (0, − 3)を通りy軸に平行でない直線の集まり
になる. （注） y の係数は0でないため。
(3) ( − 2, 3)通りy 軸に平行でない直線の集まり
になる （注）「直線x = − 2以外の、( − 2, 3)を通る直線の集まり」でもよい

Question 4

k を実数とする。直線l :kx + x + y + 3k = 0について、以下の問いに答えよ。
(1) kの値に関わらずlが通る点Aの座標を求めよ。
(2) kが任意の値を取るとき、直線l はどのような直線の集まりになるか。

Accepted Answer

k についての降べきの順にまとめると
kx+x+y+3k=0
⇔ k(x+3)+x+y=0
k の値に関わらずこの等式が成り立つには、 (x, y)が連立方程式
x+3=0
x+y=0
を満たせばよい。これを解いて、(x, y) = ( − 3, 3) であるので、
A( − 3, 3)
また、l の方程式は(k+1)x+y+3k=0と変形でき、y の係数は0でないので、l がy 軸に平行になることはない。 さらにl の傾きは-(k+1)であり、k が実数全体を動くとき-(k+1)も実数全体を動くので、l は
A( − 3, 3)を通りy 軸に平行でない直線の集まり
になる。 （注）「直線x = − 3以外の、A( − 3, 3)を通る直線の集まり」でもよい

Question 5

(1) ( − 1, 2)を通り直線y = 3に直交する直線を図示し、方程式を求めよ。
(2) (3, 2)を通り直線y = 3x – 4に直交する直線の方程式を求めよ。
(3) (1, − 2)を通り直線x − 2y + 3 = 0に直交する直線の方程式を求めよ。

Accepted Answer

(1) 図のようになるので、求める方程式は
x=-1
(2) 傾き3の直線に直交するのは傾き-1/3の直線なので
y-2=-1/3(x-3) （注）1点と傾きが与えられた直線の方程式
(3) 直線x − 2y + 3 = 0はy=1/2 x +3/2と変形でき、傾きは1/2。 これと直交する直線の傾きは− 2なので
y-(-2)=-2(x-1) ⇔ y=-2x
［図：座標平面上に、y軸上の3を通る水平な直線y=3と、x軸上の-1を通る垂直な破線x=-1が描かれ、その破線上に点(-1, 2)が取られている。］

Question 6

(1) 直線l :x − 2y + 3 = 0に対し、A(1, − 2)と対称な点Pを求めよ。
(2) 直線m :x = − 2に対し、A(1, − 2)と対称な点Qを求めよ。

Accepted Answer

(1) ［図：座標平面上に右上がりの直線lと点A(1, -2)、点Pが描かれている。点Aと点Pを結ぶ線分APは破線で表され、直線lと垂直に交わっている。］
右欄外のような図を描き、P(s, t)とおく。線分APの中点((s+1)/2,(t-2)/2)は （注）座標平面上の内分点
直線l 上にあるので
(s+1)/2 - 2・(t-2)/2 +3=0
⇔ (s+1)-2(t-2)+6=0
⇔ s=2t-11
①
l の方程式はy=1/2 x +3/2と変形できるので、 l の傾きは1/2である。 直線APの傾きは(t-(-2))/(s-1)であり、 l とAPは直交するので （注）直線の平行と垂直
12 ・ (t-(-2))/(s-1)=-1
⇔ t+2=-2(s-1)
⇔ t=-2s
②
①に②を代入してs=2(-2s)-11 ⇔ s=-11/5 これを②に代入してt=22/5、よって P (-11/5, 22/5)
(2) ［図：座標平面上にy軸に平行な直線mがあり、点A(1, -2)と直線mに関して対称な点Pが水平な破線で結ばれて直交している。x軸上には1、-2、-5の目盛りが示されている。］
図を描いて、AとQはy 座標が等しいと分かる。Aと直線m の距離は3であるから、線分AQの長さは6であるので、
Q( − 5, − 2)
である。
△Q(s, − 2)とおき、線分AQの中点の x座標(s+1)/2は、中点が直線m 上にあることから − 2なので
(s+1)/2=-2 ⇔ s=-5
と求めてもよい。

Question 7

それぞれ与えられた直線l と一点Aについて、直線l と点Aの距離を求めよ。
(1) l ：2x − y + 4 = 0, A(2, − 1)
(2) l ：3x − 4y − 2 = 0, A(0, 0)
(3) l ：3x − 4y − 2 = 0, A( − 4, − 4)
(4) l ： − 3x + 2y + 1 = 0, A(2, 2)

Accepted Answer

(1) vmatrix2・ 2 - (-1) +4vmatrix√(2² + (-1)²)=vmatrix9vmatrix√5
=9√5/5
(2) vmatrix3・ 0 - 4 ・ 0 -2vmatrix√(3² + (-4)²)=vmatrix-2vmatrix√25
=25
(3) vmatrix3・ (-4) - 4 ・ (-4) -2vmatrix√(3² + (-4)²)=vmatrix2vmatrix√25
=25
(4) vmatrix-3・ 2 + 2 ・ 2 +1vmatrix√((-3)² + 2²)=vmatrix-1vmatrix√13
=√13/13

Question 8

(1) 直線l ：3x − 4y − k = 0とA(2, 1)の距離が3であるとき、kの値を求めよ。
(2) 直線l ：2kx + y − 2 = 0とA(2, 1)の距離が1であるとき、kの値を求めよ。

Accepted Answer

(1) 直線l とAの距離はvmatrix3・ 2 -4 ・ 1 -kvmatrix√(3²+4²)であるので （注）点と直線の距離
vmatrix3・ 2 -4 ・ 1 -kvmatrix√(3²+4²)=3
⇔
vmatrix2-kvmatrix5=3
⇔ vmatrix2-kvmatrix=15
2-k=± 15を解いて、k=17,-13を得る. （注） 2 − k = 15のときはk = − 13,2 − k = − 15のときはk = 17
(2) 直線l とAの距離はvmatrix(2k)・ 2 + 1 -2vmatrix√((2k)²+1²)であるので
vmatrix(2k)・ 2 + 1 -2vmatrix√((2k)²+1²)=1
⇔ vmatrix4k-1vmatrix√(4k² +1)=1
⇔ vmatrix4k-1vmatrix=√(4k²+1)
両辺とも正なので、両辺2乗して（注）
vmatrix4k-1vmatrix² =(4k-1)²,
vmatrix4k-1vmatrix=4k-1のときも、 vmatrix4k-1vmatrix=-(4k-1)のときも、 2乗すれば(4k-1)²になる。
⇔ (4k-1)²=4k² +1
⇔ 12k² -8k=0 ∴k=0, 23

Question 9

原点をOとし、A(a1, a2)、B(b1, b2)とする。ただし、a1≠ b1とする。
(1) 原点から直線ABへ引いた垂線の長さhを求めよ。
(2) 線分ABの長さを求め、△OABの面積を求めよ。

Accepted Answer

(1) 原点Oと直線ABの間の距離がhと一致する。
直線ABは、Aを通り傾き(b2-a2)/(b1-a1)の直線であるので、その方程式は
y-a2 =(b2-a2)/(b1-a1)(x-a1)
⇔ (b1-a1)y - (b1 -a1)a2
=(b2-a2)x - (b2 -a2)a1
⇔ -(b2 -a2)x +(b1-a1)y
-a2b1 + a1b2=0
と表される。よって、求める垂線の長さhは次のようになる。
h=1/√({-(b2 -a2)}²+(b1-a1)²)
× |-(b2 -a2) × 0 +(b1-a1)× 0 .
. -a2b1 + a1b2|
（注）点と直線の距離
=vmatrixa1b2 -a2b1vmatrix√((b1-a1)²+ (b2 -a2)²)
(2) AB=√((b1-a1)²+ (b2 -a2)²)
、 △OAB=12 ・ AB ・ hより　　　　　　　　　　　　　　　（注）2点間の距離
△OAB
=(1/2)√((b1-a1)²+ (b2 -a2)²)
・vmatrixa1b2 -a2b1vmatrix√((b1-a1)²+ (b2 -a2)²)
=12vmatrixa1b2 -a2b1vmatrix
上の結果は、a1 = b1のときにも成り立ち、次のようにまとめられる. （注） a1 = b1のとき直線ABはx=a1であるから、h=vmatrixa1vmatrix、AB=vmatrixb2-a2vmatrixとなり、△OAB=12vmatrixa1vmatrixvmatrixb2-a2vmatrix=12vmatrixa1b2-a2b1vmatrixを得る。
注 ベクトルの内積をもちいた導出についてはFTEXT 数学Bを参照のこと。

Question 10

(1) O(0, 0), A(2, 1), B( − 3, 2)のとき、△OABの面積を求めよ。
(2) M(1, 2), A(3, 4), B(4, − 3)とする。 Mが原点Oと一致するよう△MABを平行移動したとき、 A, Bの座標はA', B'に移動したとする。 A', B'の座標を求め、△OA'B'の面積を求めよ。 また、△MABの面積はいくらか。

Accepted Answer

(1) △OAB=1/2vmatrix2 ・ 2 -1・ (-3)vmatrix
=1/2vmatrix7vmatrix=7/2
（注） 三角形の面積
(2) x 軸方向に − 1, y 軸方向に − 2平行移動するので
A(3, 4) → A'(2, 2)
B(4,-3) → B'(3,-5)
よって、
△OA'B'=1/2vmatrix2・(-5) - 2・ 3vmatrix
=1/2 vmatrix-16vmatrix=8
また、 △MABを平行移動して△OA'B'になったので、 △MAB=△OA'B'=8。（注） 三角形の面積

直線の方程式の練習問題（全10問・解答つき）

問題1直線の方程式-その1-

問題2直線の方程式-その2-

問題3直線の集まりとして式をみる-その1-

問題4直線の集まりとして式をみる-その2-

問題5与えられた点を通り与えられた直線に直交する直線の方程式

問題6点と直線の距離-その1-

問題7点と直線の距離-その2-

問題8三角形の面積-その1-

問題9三角形の面積-その2-

覚えておきたい事項（1問）

暗記1直線に対して対称な点