指数関数の練習問題（全5問・解答つき）

1. ⇒の証明（背理法）

   有理数 x (>0)は x=m/n（m, nは自然数） とおける。

   いま

   2^x≦1 ①

   と仮定すると

   (2^x)^n≦1^n ⇔ (2^m/n)^n≦1 ⇔ 2^m≦1

   となるが、mは自然数であるから

   arrayc m個の積 2^m=2× 2× 2 × … × 2^ array > 1× 1× 1 × … × 1=1

   であることに矛盾する。よって、xが有理数であるとき、 x > 0 ⇒ 2^x > 1がいえる。

   の証明（背理法）

   有理数xは x=m/n（mは整数、nは自然数）とおける。 いま、 x≦0、すなわち

   m≦0②

   と仮定すると

   (2^x)^n>1^n ⇔ (2^m/n)^n>1 ⇔ 2^m>1

   となるが、 2 > 1でありmは正でない整数であるから

   2^m=(1/2)^-m arrayc − m個の積 =1/2×1/2×…×1/2^ array < 1/1× 1/1×…×1/1=1

   であることに矛盾する。よって、xが有理数であるとき、 x > 0 2^x > 1がいえる。

2. x2-x1>0 ⇒ 2^x2-x1>1 ⇔ 2^x22^x1>1 ⇔ 2^x2>2^x1

以上を参考に、 y = 2^xのグラフを描くと、次の図のような曲線を描くことがわかる。 この y = 2^xのように、xの値が増加すると常にyの値も増加するような関数を単調増加関数という。 このことを次にまとめておこう。

1. それぞれの値は

指数関数の性質4.より

√[3]4=√[3]2²=2²/3 (√2 )³=2³/2 (0.5)¹/3=(2^-1)^1/3=2^-1/3

△底を2でそろえてそれぞれの値を比較できるようにした

y = 2^xは増加関数で、 -1/3<2/3<3/2だから

2^-1/3<2²/3<2^3/2 ∴(0.5)¹/3<√[3]4<(√2 )³

2. それぞれの値は

指数関数の性質4.より

2^0.3=2³/10 4^-3/2=(2²)^-3/2=2^-3 8^-1/6=(2³)^-1/6=2^-1/2 (√2)³=(2¹/2)³=2^3/2

△底を2でそろえてそれぞれの値を比較できるようにした

と計算でき、 y = 2^xは増加関数で、 -3<-1/2<3/10<3/2だから

2^-3<2^-1/2<2³/10<2³/2 ∴4^-3/2<8^-1/6<2^0.3<(√2 )³

1. 4^x=2^x+1

⇔ 2^2x=2^x+1

⇔ 2x=x+1

⇔ x=1

2. 4^x>2^x+3

⇔ 2^2x>2^x+3

⇔ 2x>x+3

⇔ x>3

3. (1/3)^x-2=27^x

⇔ 3^-x+2=3^3x

⇔ -x+2=3x

⇔ x=1/2

【別解：底を1/3でそろえる場合】

(1/3)^x-2=(1/3³)^-x

⇔ (1/3)^x-2=(1/3)^-3x

⇔ x-2=-3x

⇔ x=1/2

4. 9^x≧(1/3)^1-x

⇔ 3^2x≧3^-1+x

⇔ 2x≧-1+x

⇔ x≧-1

【別解：底を1/3でそろえる場合】

(1/3²)^-x≧(1/3)^1-x

⇔ (1/3)^-2x≧(1/3)^1-x

⇔ -2x≦ 1-x

⇔ x≧-1

1. 式を変形すると

4^x-2^x+2-32=0 ⇔ 2^2x-2²・2^x-32=0 ⇔ (2^x)²-4・2^x-32=0

ここで、 2^x = tとおくと

t²-4t-32=0 ⇔ (t+4)(t-8)=0

⇔ t=-4 , 8 ①

いま、t のとり得る値の範囲は t = 2^x > 0なので、 t = − 4は不適であり、①を満たすtは、 t = 8のみ。

よって

2^x=8 ⇔ 2^x=2³ ⇔ x=3

2. 式を変形すると

9^x-24・3^x-1-9=0 ⇔ 3^2x-24・3^-1・3^x-9=0 ⇔ (3^x)²-8・3^x-9=0

ここで、 3^x = tとおくと

t²-8t-9=0 ⇔ (t+1)(t-9)=0

⇔ t=-1 , 9 ②

いま、t のとり得る値の範囲は t = 3^x > 0なので、 t = − 1は不適であり、②を満たすt は、 t = 9のみ。

よって

3^x=9 ⇔ 3^x=3² ⇔ x=2

3. 式を変形すると

4^x-2^x<2 ⇔ 2^2x-2^x-2<0 ⇔ (2^x)²-2^x-2<0

ここで、 2^x = tとおくと

t²-t-2<0 ⇔ (t-2)(t+1)<0

⇔ -1 < t < 2 ③

いま、t のとり得る値の範囲は t = 2^x > 0なので、 これと③をあわせて、 0 < t < 2。

よって

0<2^x<2 ⇔ 0<2^x<2¹ ⇔ x<1

4. 式を変形すると

9^x-25・3^x-54>0 ⇔ 3^2x-25・3^x-54>0 ⇔ (3^x)²-25・3^x-54>0

ここで、 3^x = tとおくと

t²-25t-54>0 ⇔ (t+2)(t-27)>0

⇔ t < -2 , 27 < t ④

いま、t のとり得る値の範囲は t = 3^x > 0なので、 これと④をあわせて、 27 < t。

よって

3^x>27 ⇔ 3^x>3³ ⇔ x>3

△指数関数の性質4.なお、 t = 3^x はつねに 3^x > 0なので、 t < -2 となることはない

1. 2^x = tとおくと、 -2≦x≦2より

2^-2≦t≦2² ⇔ 1/4≦t≦4 ①

また

y=4^x+1-2^x+2+2 =4・4^x-2²・2^x+2 =4・(2^x)²-4・2^x+2

より

y=4t²-4t+2 =4(t-1/2)²+1

①の範囲では、このグラフは図のようになるので

(t=4) x=2のとき、最大値50

(t=1/2) x=-1のとき、最小値1

2. 2^x = tとおくと、 x≦ 2より

0< t≦2² ⇔ 0 < t≦ 4 ②

また

y=-4^x+2^x+1+1 =-(2^x)²+2・2^x+1

より

y=-t²+2t+1 =-(t-1)²+2

②の範囲では、このグラフは図のようになるので

(t=1) x=0のとき、最大値2

(t=4) x=2のとき、最小値-7