指数関数の練習問題（全5問・解答つき）

以上を参考に， y = 2^xのグラフを描くと，右図のような曲線を描くことがわかる． この y = 2^xのように，xの値が増加すると常にyの値も増加するような関数を単調増加関数という． このことを次にまとめておこう．

1. それぞれの値は

指数関数の性質4.より

√[3]4=√[3]2²=2²/3 (√2 )³=2³/2 (0.5)¹/3=(2^-1)^1/3=2^-1/3

△底を2でそろえてそれぞれの値を比較できるようにした

y = 2^xは増加関数で， -1/3<2/3<3/2だから

2^-1/3<2²/3<2^3/2 ∴4^-3/2<8^-1/6<2^0.3<(√2)³

2. それぞれの値は

指数関数の性質4.より

2^0.3=2³/10 4^-3/2=(2²)^-3/2=2^-3 8^-1/6=(2³)^-1/6=2^-1/2 (√2)³=(2¹/2)³=2^3/2

△底を2でそろえてそれぞれの値を比較できるようにした

と計算でき， y = 2^xは増加関数で， -3<-1/2<3/10<3/2だから

2^-3<2^-1/2<2³/10<2³/2 ∴4^-3/2<8^-1/6<2^0.3<(√2 )³

1. 4^x=2^x+1

⇔ 2^2x=2^x+1 底を2でそろえた

⇔ 2x=x+1 指数関数の性質3.

⇔ x=1

2. 4^x>2^x+3

⇔ 2^2x>2^x+3 底を2でそろえた

⇔ 2x>x+3 指数関数の性質4 .

⇔ x>3

3. (1/3)^x-2=27^x

⇔ 3^-x+2=3^3x 底を3でそろえた

⇔ -x+2=3x 指数関数の性質3.

⇔ x=1/2

【別解：底を1/3でそろえる場合】

(1/3)^x-2=(1/3³)^-x

⇔ (1/3)^x-2=(1/3)^-3x 底を1/3でそろえた

⇔ x-2=-3x 指数関数の性質3.

⇔ x=1/2

4. 9^x≧(1/3)^1-x

⇔ 3^2x≧3^-1+x 底を3でそろえた

⇔ 2x≧-1+x 指数関数の性質3., 4.

⇔ x≧-1

【別解：底を1/3でそろえる場合】

(1/3²)^-x≧(1/3)^1-x

⇔ (1/3)^-2x≧(1/3)^1-x 底を1/3でそろえた

⇔ -2x≦ 1-x 指数関数の性質3. ,4.

⇔ x≧-1

1. 式を変形すると

4^x-2^x+2-32=0 ⇔ 2^2x-2²・2^x-32=0 ⇔ (2^x)²-4・2^x-32=0

ここで， 2^x = tとおくと

t²-4t-32=0 ⇔ (t+4)(t-8)=0

⇔ t=-4 , 8 1

いま，t のとり得る値の範囲は t = 2^x > 0なので， t = − 4は不適であり，を満たすtは， t = 8のみ． 指数関数の性質1.

よって

2^x=8 ⇔ 2^x=2³ ⇔ x=3 指数関数の性質3.

2. 式を変形すると

9^x-24・3^x-1-9=0 ⇔ 3^2x-24・3^-1・3^x-9=0 ⇔ (3^x)²-8・3^x-9=0

ここで， 3^x = tとおくと

t²-8t-9=0 ⇔ (t+1)(t-9)=0

⇔ t=-1 , 9 2

いま，t のとり得る値の範囲は t = 3^x > 0なので， t = − 1は不適であり，を満たすt は， t = 9のみ．指数関数の性質1.

よって

3^x=9 ⇔ 3^x=3² ⇔ x=2 指数関数の性質3.

3. 式を変形すると

4^x-2^x<2 ⇔ 2^2x-2^x-2<0 ⇔ (2^x)²-2^x-2<0

ここで， 2^x = tとおくと

t²-t-2<0 ⇔ (t-2)(t+1)<0

⇔ -1 < t < 2 3

いま，t のとり得る値の範囲は t = 2^x > 0なので， これとをあわせて， 0 < t < 2．指数関数の性質1.

よって

0<2^x<2 ⇔ 0<2^x<2¹ ⇔ x<1指数関数の性質4.

4. 式を変形すると

9^x-25・3^x-54>0 ⇔ 3^2x-25・3^x-54>0 ⇔ (3^x)²-25・3^x-54>0

ここで， 3^x = tとおくと

t²-25t-54>0 ⇔ (t+2)(t-27)

⇔ -2 < t < 27 4

いま，t のとり得る値の範囲は t = 3^x > 0なので， これとをあわせて， 0 < t < 27．指数関数の性質1.

よって

0<3^x<27 ⇔ 0<3^x<3³ ⇔ x<3

△指数関数の性質4.なお，すべての実数x で 3x > 0なので，x に下限はない

1. 2^x = tとおくと， -2≦x≦2より

2^-2≦t≦2² ⇔ 1/4≦t≦4 1

また

y=4^x+1-2^x+2+2 =4・4^x+2²・2^x+2 =4・(2^x)²-4・2^x+2

より

y=4t²-4t+2 =4(t-1/2)²+1

の範囲では，このグラフは図のようになるので

(t=4) x=2のとき，最大値50

(t=1/2) x=-1のとき，最小値1

2. 2^x = tとおくと， x≦ 2より

0< t≦2² ⇔ 0 < t≦ 4 2

また

y=-4^x+2^x+1+1 =-(2^x)²+2・2^x+1

より

y=-t²+2t+1 =-(t-1)²+2

の範囲では，このグラフは図のようになるので

(t=1) x=0のとき，最大値2

(t=4) x=2のとき，最小値-7