対数の定義の練習問題（全4問・解答つき）

【解答：背理法】

log25が有理数であると仮定する．log25は正の数なので，自然数m，nをもちいて log25=m/n，すなわち

2^m/n=5

と表せることになる．

しかし，両辺をn乗すると

2^m=5^n

となり，左辺は偶数，右辺は奇数となるので矛盾する．

よって，log25は無理数である．

1. 「3の4乗は81である」は「4は3を底とする81の対数である」ということと同じ．

つまり

3⁴=81 ⇔ 4=log381 対数の定義

2. 「10の − 2乗は0.01である」は「− 2は10を底とする0.01の対数である」ということと同じ． つまり

10^-2=0.01 ⇔ -2=log100.01 対数の定義

3. 「16の-1/4乗は0.5である」は「-1/4は16を底とする0.5の対数である」ということと同じ． つまり

16^-1/4=0.5 ⇔ -1/4=log160.5 対数の定義

1. 「2は10を底とする100の対数である」は「10の2乗は100である」ということと同じ．

つまり

2=log10100 ⇔ 10²=100 対数の定義

2. 「1/3は8を底とする2の対数である」は「8の1/3乗は2である」ということと同じ． つまり

1/3=log82 ⇔ 8¹/3=2 対数の定義

3. 「 − 3は5を底とする1/125の対数である」は「5の − 3乗は1/125である」ということと同じ． つまり

-3=log51/125 ⇔ 5^-3=1/125 対数の定義

1. log464 = xとおくと

log464=x ⇔ 4^x=64 ⇔ 4^x=4³ 対数の定義

⇔ x=3

【別解】

対数の定義より log464=log44³=3

2. log279 = xとおくと

log279=x ⇔ 27^x=9 ⇔ 3^3x=3² 対数の定義 ⇔ 3x=2 ⇔ x=3/2

3. log21/√2=xとおくと

log21/√2=x ⇔ 2^x=1/√2 ⇔ 2^x=2^-1/2 対数の定義

⇔ x=-1/2

4. log1/41/2=xとおくと

log1/41/2=x ⇔ (1/4)^x=1/2 ⇔ (1/2)^2x=1/2 対数の定義 ⇔ 2x=1 ⇔ x=1/2