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接線とグラフの練習問題（全4問・解答つき）

数学II「接線とグラフ」（微分法）の練習問題を4問まとめました。解答は各問のすぐ下に折りたたんであります。そのまま印刷すれば、解答の見えない問題プリントになります。

印刷すると、開いている解答だけが一緒に刷られます

問題1曲線外の点から引く接線～その1～

2次関数 において、放物線 の接線のうち点 を通るものを次の2通りの方法で求めよ。

  1. 接点の 座標を とおく方法。
  2. 接線の傾きを とおく方法。
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  1. であるから、接点の 座標を とおくと、接線の方程式は とおける。このとき、点 を通るような の値は、 に を代入して を満たすものである。この の2次方程式の解は となるのでこれを に代入して、 と が求める接線となる。

  2. 点 を通る直線の傾きを とおくと、この直線の方程式は となる。この直線と が接するのは、方程式 が重解をもつときだから

    の判別式を考えて

    これを に代入して、 と が求める接線となる。

問題2曲線外の点から引く接線～その2～

3次関数 において、3次曲線 の接線のうち点 を通るものを次の2通りの方法で求めよ。

  1. 接点の 座標を とおく方法。
  2. 接線の傾きを とおく方法。
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  1. であるから、接点の 座標を とおくと、接線の方程式は とおける。このとき、点 を通るような の値は、 に を代入して

    を満たすものである。この の3次方程式の解は となるのでこれを に代入して、 と が求める接線となる。

  2. 点 を通る直線の傾きを とおくと、この直線の方程式は となる。この直線と が接するのは、方程式 が重解をもつときだから

    の左辺が と因数分解される。つまり

    となる実数 、 が存在する。この両辺の係数を比較して 、 から を消去すると

    よって、 。さらにこれらを に代入して、 となるので、 より と が求める接線となる。

問題33次曲線の接線とその3次曲線との交点

3次関数 において、3次曲線 上の点 における接線を考える。この接線が、再びこの3次曲線と交わる点の座標を求めよ。

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であるから、点 における接線は となる。この接線と を連立して を消去すると

よって、求める点の 座標は であり、また より、求める座標は 。

【別解】

上の点 における接線の方程式を とおくと、 と は接するので、方程式

は を重解にもつ。

他の解を とおくと、この式の左辺は と因数分解される。つまり となる実数 が存在する。 の係数を比較して また、 より、求める座標は 。

覚えておきたい事項（1問）

暗記1「2つの曲線が接する」「重解をもつ」の証明

  1. の多項式 を で割ったときの余りを と をもちいて表せ。

  2. 1を用いて

    「 かつ 」「 は で割りきれる」

    を証明せよ。

  3. 多項式 、 において を証明せよ。

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  1. を で割ったときの商を 、余りを とおくと と表せる。

    この式を で微分すると

    、 の に を代入して この2式を 、 について解くと、 、 となるので、余りは となる。

  2. 1より多項式 は と表せるから

    となり、証明された。

  3. (A)(B)の証明

    「曲線 と が で接する」とは が成り立っているということである。

    いま、見やすくするため とおくと、この2式より が成り立つから、2より は で割りきれる、つまり と書けるので、方程式 、つまり「方程式 は を重解にもつ」。

    (A)(B)の証明

    「方程式 は を重解にもつ」とは と書けるということである。

    いま、見やすくするため とおくと、 より と書けるので、2より が成り立つから、 かつ が成り立つ、つまり「曲線 と が で接する」。