関数のグラフの練習問題

Question 1

関数 f(x)=x³-6x²+9x において、次の問いに答えよ。
(1) f'(x) を求めよ。
(2) f'(x)=0 となる x の値を求めよ。
(3) f'(x)0 となる x の値の範囲、および f'(x)<0 となる x の値の範囲を求めよ。
(4) f'(x)=0 となるときの、f(x) の値を求めよ。
(5) 1～4を利用して、下の増減表の空欄を埋めよ。
| x | | … | | … | | … |
|---|---|---|---|---|---|---|
| f'(x) | | | | | | |
| f(x) | | | | | | |
ただし
(1) x の欄には、2で求めた値
(2) f'(x) の欄には、-、0、+ のいずれか
(3) f(x) の欄には ↗ （増加を表す記号）、↘ （減少を表す記号）、値が入る。
(6) 5を利用して、y=f(x) のグラフを描け。

Accepted Answer

(1) f(x)=x³-6x²+9x を微分すると
f'(x)=3x²-12x+9
となる。
(2) 1より
f'(x)=3x²-12x+9
=3(x-1)(x-3)
と因数分解できるので、f'(x)=0 となる x は、x=1, 3。
(3) （注） 下のように y=f'(x) のグラフを考えてもよい
まず、2より f'(x)=0 となる x は 1,3 であり、これを数直線上に表すと
となる。これより
(1) (1)つまり x<1 のとき
f'(x)=3(x-1)負(x-3)負
となり、f'(x)0 となるのがわかる。
(2) (2)つまり 1<x<3 のとき
f'(x)=3(x-1)正(x-3)負
となり、f'(x)<0 となるのがわかる。
(3) (3)つまり 3<x のとき
f'(x)=3(x-1)正(x-3)正
となり、f'(x)0 となるのがわかる。
以上 i～iii より、f'(x)0 となるのは x<1、3<x のときであり、f'(x)<0 となるのは 1<x<3 のときである。
(4) 2より、f'(x)=0 となるのは、x=1, 3 のときだから
f(1)=1³-6・1²+9・1=4
f(3)=3³-6・3²+9・3=0
と求まる。
(5) - STEP1 x の欄を埋める
ここには、f'(x)=0 となる x を入れる。2の結果より
| x | | … | 1 | … | 3 | … |
|---|---|---|---|---|---|---|
| f'(x) | | | | | | |
| f(x) | | | | | | |
となる。
・STEP2 f'(x) の欄を埋める
STEP1 で埋めた欄のすぐ下の欄には 0 が入る。なぜなら、STEP1 で埋めた x の値は、f'(x) が 0 になるときの x の値だからである。また、それ以外の部分には3の結果を利用して正ならば +、負ならば - を埋める。
| x | | … | 1 | … | 3 | … |
|---|---|---|---|---|---|---|
| f'(x) | | + | 0 | - | 0 | + |
| f(x) | | | | | | |
・STEP3 f(x) の欄を埋める
STEP2 より x=1 や x=3 の値の前後では、f'(x) の符号が変わっているので、f(x) は x=1 で極大、x=3 で極小となる。まず、4で得た極大値 f(1)=4 や、極小値 f(3)=0 を増減表に埋める。
| x | | … | 1 | … | 3 | … |
|---|---|---|---|---|---|---|
| f'(x) | | + | 0 | - | 0 | + |
| f(x) | | | 4 | | 0 | |
最後に f'(x) が + の欄の下には、f(x) が増加するという意味で ↗、f'(x) が - の欄の下には、f(x) が減少するという意味で ↘ を書き加えて増減表が完成する。
| x | | … | 1 | … | 3 | … |
|---|---|---|---|---|---|---|
| f'(x) | | + | 0 | - | 0 | + |
| f(x) | | ↗ | 4 | ↘ | 0 | ↗ |
(6) （注） f(0)=0 なので、y=f(x) のグラフは原点 (0, 0) を通ることに注意
5で得られた増減表を利用して y=f(x) のグラフを描くと、以下のようになる。

Question 2

次の各々の関数において、y=f(x) のグラフを描け。
(1) f(x)=x³-x²-x+2
(2) f(x)=-x³+3x
(3) f(x)=x³-2x²+2x-1
(4) f(x)=1/4x⁴-3/2x²-2x+2

Accepted Answer

(1) f(x) を微分すると
f'(x)=3x²-2x-1
=(3x+1)(x-1)
これより、増減表は
| x | | … | -1/3 | … | 1 | … |
|---|---|---|---|---|---|---|
| f'(x) | | + | 0 | - | 0 | + |
| f(x) | | ↗ | f(-1/3) | ↘ | f(1) | ↗ |
となる。ここで、f(-1/3)、f(1) の値は
f(-1/3)=(-1/3)³-(-1/3)²
-(-1/3)+2
=59/27
f(1)=1³-1²-1+2=1
である。
以上より、y=f(x) のグラフは、上の図のようになる。
(2) f(x) を微分すると
f'(x)=-3x²+3
=-3(x+1)(x-1)
これより、増減表は
| x | | … | -1 | … | 1 | … |
|---|---|---|---|---|---|---|
| f'(x) | | - | 0 | + | 0 | - |
| f(x) | | ↘ | f(-1) | ↗ | f(1) | ↘ |
となる。ここで、f(-1)、f(1) の値は
f(-1)=-(-1)³+3・(-1)=-2
f(1)=-1³+3・1=2
である。
以上より、y=f(x) のグラフは、上の図のようになる。
(3) f(x) を微分すると
f'(x)=3x²-4x+2
ここで、3x²-4x+2 は x² の係数が正であり、その判別式 D/4 は
D/4=2²-3・2=-2<0
なので、f'(x) はつねに正である。
よって、y=f(x) のグラフは、上の図のようになる。
(4) f(x) を微分すると
（注） f'(-1)=0 なので『因数定理』を利用して因数分解した。
f'(x)=x³-3x-2
=(x+1)²(x-2)
これより、増減表は
| x | | … | -1 | … | 2 | … |
|---|---|---|---|---|---|---|
| f'(x) | | - | 0 | - | 0 | + |
| f(x) | | ↘ | f(-1) | ↘ | f(2) | ↗ |
となる。x=-1 の前後では f'(x) の符号が変わらないので、f(x) は x=-1 で極値をとらない。ここで、f(-1)、f(2) の値は
f(-1)=1/4・(-1)⁴-3/2・(-1)²
-2・(-1)+2
=11/4
f(2)=1/4・2⁴-3/2・2²-2・2+2
=-4
である。
以上より、y=f(x) のグラフは、上の図のようになる。

Question 3

次の関数の最大値、最小値とそれらを与える x の値を求めよ。
(1) f(x)=2x³-3x²-12x+1 (-2≦x≦3)
(2) f(x)=x⁴-2x²+3 (-1≦x≦2)

Accepted Answer

(1) f'(x)=6x²-6x-12=6(x+1)(x-2) より、区間 -2≦x≦3 における f(x) の増減表は次のようになる。
| x | | -2 | … | -1 | … | 2 | … | 3 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| f'(x) | | | + | 0 | - | 0 | + | |
| f(x) | | -3 | ↗ | 8 | ↘ | -19 | ↗ | -8 |
これより、y=f(x) のグラフは次の図のようになる。
よって、x=-1 のとき最大値 8、x=2 のとき最小値 -19。
(2) f'(x)=4x³-4x=4x(x+1)(x-1) より、区間 -1≦x≦2 における f(x) の増減表は次のようになる。
| x | | -1 | … | 0 | … | 1 | … | 2 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| f'(x) | | 0 | + | 0 | - | 0 | + | |
| f(x) | | 2 | ↗ | 3 | ↘ | 2 | ↗ | 11 |
これより、y=f(x) のグラフは次の図のようになる。
よって、x=2 のとき最大値 11、x=±1 のとき最小値 2。

Question 4

底面の半径と高さの和が 30 cm の円錐で体積が最大となるときの底面の半径と高さと体積を求めよ。

Accepted Answer

（注） 円錐の体積は 1/3×(底面積)×(高さ) で求められる
底面の半径を r cm とすると、高さは (30-r) cm となるので、円錐の体積を f(r) cm³ とすると
f(r)=1/3π r²・(30-r)
=-1/3π r³+10π r² (0<r<30)
となる。これを微分すると
f'(r)=-π r²+20π r=-π r(r-20)
となるので、f(r) の増減表は次のようになる。
| r | | 0 | … | 20 | … | 30 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| f'(r) | | | + | 0 | - | |
| f(r) | | | ↗ | 極大 | ↘ | |
よって、f(r) は r=20 のとき最大となるので、底面の半径が 20cm、高さが 10cm のときに体積は最大となる。また、このときの体積は
f(20)=1/3π・20²・10=4000/3³
である。

Question 5

上にある『3次関数のグラフの特徴』を、以下の手順で証明せよ。
(1) 3次関数 g(x)=Ax³+Bx において、y=g(x) のグラフは原点対称であることを示せ。
(2) 3次関数 f(x)=ax³+bx²+cx+d において、y=f(x) のグラフを x 軸方向に b/3a、y 軸方向に -f(-b/3a) 平行移動したものは適当な実数 A、B をもちいて、y=Ax³+Bx と表せることを示せ。
以上、1、2から『3次関数のグラフの特徴』が証明される。

Accepted Answer

(1) （注） 原点に関する対称移動を行うには y=-g(-x) とすればよい（FTEXT 数学Iの付録『グラフの移動について』、または『偶関数と奇関数のグラフの特徴』を参照）
y=g(x) のグラフが原点対称であることを示すには、原点に関する対称移動をさせてみて、もとと同じ形のグラフになるか調べればよい。
そのために、以下では -g(-x)=g(x) を示す。
-g(-x)=-{A(-x)³+B(-x)}
=-(-Ax³-Bx)=g(x)
より、y=g(x) のグラフは原点対称である。
(2) y=f(x) のグラフを x 軸方向に b/3a、y 軸方向に -f(-b/3a) 平行移動すると
y=a(x-b/3a)³+b(x-b/3a)²+c(x-b/3a)+d
-f(-b/3a)
=a(x³-bx²/a+b²x/3a²-b³/27a³)
+b(x²-2bx/3a+b²/9a²)
+c(x-b/3a)+d
-{a(-b/3a)³+b(-b/3a)²+c(-b/3a)+d}
=ax³+(-b²/3a+c)x
となるので、a=A、-b²/3a+c=B とおくと、確かに y=Ax³+Bx と表せる。
1より y=Ax³+Bx のグラフは原点対称だから、これを x 軸方向に -b/3a、y 軸方向に f(-b/3a) 平行移動してもどした y=f(x) のグラフは、原点を移した点 (-b/3a , f(-b/3a)) に関して点対称である。

Question 6

『因数定理による因数分解』で因数分解した多項式を、不等式にしたものである。次の不等式を解け。
(1) x³+3x²-40
(2) 2x³-7x²+9≦0
(3) 3x³-4x²+4x-1<0
(4) 24x³-22x²+x+2≧0

Accepted Answer

(1) f(x)=x³+3x²-4 とおくと、f(1)=0 なので
⇔ f(x)=(x-1)(x²+4x+4)
⇔ f(x)=(x-1)(x+2)²
より、y=f(x) のグラフは次の図のようになる。
よって、f(x)0 を満たすのは、1<x である。
(2) f(x)=2x³-7x²+9 とおくと、f(-1)=0 なので
⇔ f(x)=(x+1)(2x²-9x+9)
⇔ f(x)=(x+1)(2x-3)(x-3)
より、y=f(x) のグラフは次の図のようになる。
よって、f(x)≦0 を満たすのは、x≦-1, 3/2≦x≦3 である。
(3) f(x)=3x³-4x²+4x-1 とおくと、f(1/3)=0 なので
f(x)=(3x-1)(x²-x+1)
より、y=f(x) のグラフは次の図のようになる。
（注） x²-x+1 の判別式は D=(-1)²-4・1・1=-3<0 なので、x²-x+1 はつねに正である。よって f(x) の符号は 3x-1 の符号だけで決まる
よって、f(x)<0 を満たすのは、x<1/3 である。
(4) f(x)=24x³-22x²+x+2 とおくと、f(-1/4)=0 なので
⇔ f(x)=(4x+1)(6x²-7x+2)
⇔ f(x)=(4x+1)(2x-1)(3x-2)
より、y=f(x) のグラフは次の図のようになる。
よって、f(x)≧0 を満たすのは、-1/4≦x≦1/2, 2/3≦x である。

$x$		$\dots$		$\dots$		$\dots$
$f'(x)$
$f(x)$

$x$		$\dots$	$1$	$\dots$	$3$	$\dots$
$f'(x)$		$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f(x)$

$x$		$\dots$	$1$	$\dots$	$3$	$\dots$
$f'(x)$		$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f(x)$			$4$		$0$

$x$		$\dots$	$1$	$\dots$	$3$	$\dots$
$f'(x)$		$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f(x)$		$↗$	$4$	$↘$	$0$	$↗$

$x$		$\dots$	$-1/3$	$\dots$	$1$	$\dots$
$f'(x)$		$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f(x)$		$↗$	$f(-1/3)$	$↘$	$f(1)$	$↗$

関数のグラフの練習問題（全6問・解答つき）

問題1導関数を利用したグラフの書き方

問題2導関数を利用したグラフの描画

問題3関数の最大・最小

問題4関数の最大・最小の応用

問題53次不等式を解く

覚えておきたい事項（1問）

暗記13次関数のグラフの特徴の証明