いろいろな数列の練習問題（全3問・解答つき）
数学B「いろいろな数列」（数列の一般項と和）の練習問題を3問まとめました。解答は各問のすぐ下に折りたたんであります。そのまま印刷すれば、解答の見えない問題プリントになります。
印刷すると、開いている解答だけが一緒に刷られます。印刷設定の「ヘッダーとフッター」を外すと、日付やURLが入らずきれいに刷れます
問題1等差 × 等比型数列の和～その１～
次の和 S を求めよ。
S=1+3・2+5・2²+…+(2n-1)・2^n-1
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公比を掛けて差をとると
S=1+3・2+5・2²+…+(2n-1)・2^n-1 2S=1・2+3・2²+…+(2n-1)・2^n
より
-S = 1+2(2+2²+…+2^n-1)-(2n-1)・2^n = 1+2・2(2^n-1-1)2-1-(2n-1)・2^n = 1+2・(2^n-2)-(2n-1)・2^n = -3-(2n-3)・2^n
よって、 S=3+(2n-3)・2^n である。
問題2等差 × 等比型数列の和～その２～
次の和 S を求めよ。
S=1+2x+3x²+…+nx^n-1
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x=1 のときは、公比 x を掛けて引いても S-S=0 となってしまい、この方法が使えない(両辺を 1-x で割ることもできない)。そこで、 x=1,x≠1 で場合分けを行なう。
x=1 のとき
S=1+2+3+…+n =(1/2)n(n+1)
x≠1 のとき
S=1+2x+3x²+…+nx^n-1 xS=x+2x²+…+(n-1)x^n-1+nx^n
より
(1-x)S=1+(x+x²+…+x^n-1)-nx^n =1+x(1-x^n-1)1-x-nx^n
よって
S=(1-nx^n)/(1-x)+x(1-x^n-1)(1-x)² =(1-nx^n)(1-x)+x(1-x^n-1)(1-x)² =1-(n+1)x^n+nx^n+1(1-x)²
問題3分数数列の和
次の数列の初項から第 n 項までの和を求めよ。
1/1・3,1/3・5,1/5・7,…
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一般項を求めて部分分数に分解する。
分母は連続する2つの奇数の積だから、一般項は 1/(2n-1)(2n+1) である。これより
1/(2n-1)(2n+1)=((2n+1)-(2n-1))/(2n-1)(2n+1)・1/2 =1/2(1/(2n-1)-1/(2n+1))
よって
Sn=1/2{(1/1-1/3)+(1/3-1/5)+… +(1/(2n-1)-1/(2n+1))} =1/2(1-1/(2n+1)) =1/2・2n/(2n+1) =n/(2n+1)