変形階差型漸化式の練習問題（全4問・解答つき）

この解法では、漸化式 an+1=pan+r^n の r の部分、つまりこの例題では2に着目して、漸化式を 2^n+1 で割ることにより、線形2項間漸化式に帰着させる。

まず、漸化式 an+1=5an+2^n の両辺を 2^n+1 で割る。

an+12^n+1=5an2^n+1+2^n2^n+1 ⇔ an+12^n+1=5an2^n+1+2^n/2・2^n ∴an+12^n+1=5/2・an/2^n+1/2

ここで、 an/2^n=bn とおくと、漸化式は

bn+1=(5/2)bn+1/2

と変形される。この漸化式は線形2項間漸化式になっているので、以下その方法に準じて漸化式を解けばよい。

この解法では、漸化式 an+1=pan+r^n の p の部分、つまりこの例題では5に着目して、漸化式を 5^n+1 で割ることにより、階差型漸化式に帰着させる。

まず、漸化式 an+1=5an+2^n の両辺を 5^n+1 で割る。

an+15^n+1=5an5^n+1+2^n5^n+1 ⇔ an+15^n+1=5an/5・5^n+2^n/5・5^n ∴an+15^n+1=an/5^n+1/5・(2/5)^n

ここで、 an/5^n=bn とおくと、漸化式は

bn+1=bn+1/5・(2/5)^n

と変形される。この漸化式は階差型漸化式になっているので、以下その方法に準じて漸化式を解けばよい。

漸化式 an+1=5an+2^n の両辺を 2^n+1 で割る。

an+12^n+1=5an2^n+1+2^n2^n+1 ⇔ an+12^n+1=5an2^n+1+2^n/2・2^n ↑2^n+1=2・2^n ∴an+12^n+1=5/2・an/2^n+1/2

an/2^n=bn とおくと、数列 {bn} は

bn+1=(5/2)bn+1/2 ①

を満たす。

ここで、方程式 α=(5/2)α+1/2 を解くと

α=(5/2)α+1/2 ⇔ 2α=5α+1 ⇔ 3α=-1 ∴α=-1/3

となるので、これを利用して ① は

bn+1=(5/2)bn+1/2 -)α=(5/2)α+1/2 bn+1-α=5/2(bn-α)

に、 α=-1/3 を代入

⇔ bn+1-(-1/3)=5/2{bn-(-1/3)} ∴bn+1+1/3=5/2(bn+1/3)

これより、数列 {bn+1/3} は、初項 (b1+1/3) 、公比 5/2 の等比数列とわかるので

bn+1/3=(b1+1/3)(5/2)^n-1 ↑等比数列の一般項 =(a1/2¹+1/3)(5/2)^n-1 ↑ bn=an/2^nとおいたので、b1=a1/2¹となる =(1/2+1/3)(5/2)^n-1 =5/6(5/2)^n-1 =5^n/3・2^n

ここで、 bn=an/2^n であったから、もとに戻して

an/2^n+1/3=5^n/3・2^n ↑ここからanについて解く ⇔ an/2^n=5^n/3・2^n-1/3 ∴an=5^n/3-2^n/3

漸化式 an+1=5an+2^n の両辺を 5^n+1 で割ると

an+15^n+1=5an5^n+1+2^n5^n+1 ⇔ an+15^n+1=5an/5・5^n+2^n/5・5^n ↑ 5^n+1=5・5^nである ∴an+15^n+1=an/5^n+1/5・(2/5)^n

an/5^n=bn とおくと

bn+1=bn+1/5(2/5)^n ⇔ bn+1-bn=1/5(2/5)^n

この漸化式より、数列 {bn} の階差数列を {cn} とすれば、 cn=1/5(2/5)^n となっていることがわかるので、 2≦ n では

bn=b1+Σck =a1/5¹+Σ1/5(2/5)^k =1/5+1/5Σ(2/5)^k =1/5+1/5・2/5{1-(2/5)^n-1}1-2/5 =1/5+1/5・2/3{1-(2/5)^n-1} =1/5+2/15{1-(2/5)^n-1} =1/5+2/15-2/15(2/5)^n-1 =1/3-2/15(2/5)^n-1 =1/3-2^n/3・5^n

この式の右辺の n に1を代入すると、 1/3-2/15=1/5 となり、 b1=a1/5¹=1/5 と一致するので、この式は n=1 のときにも成立する。

よって n≧1 で

bn=1/3-2^n/3・5^n

が成り立つ。ここで、 bn=an/5^n であったから

an/5^n=1/3-2^n/3・5^n ∴an=5^n/3-2^n/3

STEP1

漸化式の両辺を、 r^n+1 で割ることにより

an+1r^n+1bn+1=p/r・an/r^nbn+1/r

として、線形2項間漸化式を導く。

STEP2

(以下、線形2項間漸化式の解法に準じる)

STEP1

漸化式の両辺を、 p^n+1 で割ることにより

an+1p^n+1bn+1=an/p^nbn+1/p・(r/p)^n

として、階差型漸化式を導く。

STEP2

(以下、階差型漸化式の解法に準じる)

この解法では、漸化式 an+1=pan+n^k の k の部分(整式 f(n) の次数)、つまりこの例題では1に着目して、適当な1次式を用いて漸化式を変形することにより、等比数列に帰着させる。

具体的には次のようにする。

n の1次式 g(n)=sn+t を用いて、漸化式 an+1=5an+n が

an+1-{s(n+1)+tg(n+1)} = 5{an-(sn+t)g(n)} ①

と変形できたとすれば、 bn=an-(sn+t) とおくことにより、漸化式は

bn+1=5bn

と変形される。この漸化式は等比数列を表しているので、以下その方法に準じて漸化式を 解けばよい。

このような s,t を求めるためには、 ① を展開・整理して

an+1-{s(n+1)+t}=5{an-(sn+t)} ⇔ an+1=5{an-(sn+t)}+{s(n+1)+t} ⇔ an+1=5an-5(sn+t)+s(n+1)+t ⇔ an+1=5an-5sn-5t+sn+s+t ∴an+1=5an-4sn+(s-4t)

としておいて、これと漸化式 an+1=5an+n を比較して

-4s=1 s-4t=0

を解けばよい。

この解法では、漸化式 an+1=pan+n^k の p の部分、つまりこの例題では5に着目して、漸化式を 5^n+1 で割ることにより、階差型漸化式に帰着させる。

具体的には次のようにする。

まず、漸化式 an+1=5an+n の両辺を 5^n+1 で割る。

an+15^n+1=5an5^n+1+n5^n+1 ⇔ an+15^n+1=5an/5・5^n+n5^n+1 ∴an+15^n+1=an/5^n+n(1/5)^n+1

ここで、 an/5^n=bn とおくと、漸化式は

bn+1=bn+n(1/5)^n+1

と変形される。この漸化式は階差型漸化式になっているので、以下その方法に準じて漸化 式を解けばよい。

漸化式 an+1=5an+n を変形して

an+1=5an+n ⇔ an+1-{s(n+1)+tg(n+1)} =5{an-(sn+t)g(n)}

となるような、 s,t を求める。

そのためには、まずこの式を展開・整理して

an+1-{s(n+1)+t} = 5{an-(sn+t)} ②

⇔ an+1=5{an-(sn+t)} +{s(n+1)+t} ⇔ an+1=5an-5(sn+t) +s(n+1)+t ⇔ an+1=5an-5sn-5t +sn+s+t ∴an+1=5an-4sn+(s-4t) ③

この ③ と、もとの漸化式 an+1=5an+n を比べて

-4s=1 ④ s-4t=0 ⑤

を解けばよい。

まず、 ④ より s=-1/4 であり、これを ⑤ に代入して

-1/4-4t=0 ⇔ t=-1/16

を得る。この s,t を ② に代入して

an+1-{-1/4(n+1)-1/16} = 5{an-(-(1/4)n-1/16)} ⑥

を得る。

ここで、 bn=an-(-(1/4)n-1/16) とおくと、 ⑥ は

bn+1=5bn

となり、数列 {bn} は初項

b1=a1-(-1/4・1-1/16) =1+1/4+1/16 =21/16

公比5の等比数列となるのがわかる。

よって

bn=b1・5^n-1 =21/16・5^n-1

bn=an-(-(1/4)n-1/16) であったから

an-(-(1/4)n-1/16)=21/16・5^n-1 ∴an=-(1/4)n-1/16+21/16・5^n-1

漸化式 an+1=5an+n の両辺を 5^n+1 で割ると

an+15^n+1=5an5^n+1+n5^n+1 ⇔ an+15^n+1=5an/5・5^n+n(1/5)^n+1 ↑5^n+1=5・5^nである ∴an+15^n+1=an/5^n+n(1/5)^n+1

bn=an/5^n とおくと

bn+1=bn+n(1/5)^n+1 ⇔ bn+1-bn=n(1/5)^n+1

この漸化式により、数列 {bn} の階差数列を {cn} とすれば、 cn=n(1/5)^n+1 となっていることがわかるので、 n≧2 では

bn=b1+Σck =a1/5¹+Σk(1/5)^k+1 =1/5+Σk(1/5)^k+1^Aとおく ⑦

ここで

より

(4/5)A = (1/5)²+(1/5)³+…+(1/5)^n -(n-1)・(1/5)^n+1 = (1/5)²{1-(1/5)^n-1}1-1/5 -(n-1)・(1/5)^n+1 ↓ここからの計算は(1/5)^nで くくるためのものである = 1/20{1-(1/5)^n-1}-(n-1)・(1/5)^n+1 = 1/20-1/20(1/5)^n-1-(n-1)/5・(1/5)^n = 1/20-1/4(1/5)^n-(n-1)/5・(1/5)^n = 1/20-(1/4+(n-1)/5)(1/5)^n = 1/20-(5+4n-4)/20(1/5)^n = 1/20-(4n+1)/20(1/5)^n

よって

A=1/16-(4n+1)/16(1/5)^n

であるから、 ⑦ は

bn=1/5+1/16-(4n+1)/16(1/5)^n =21/80-(4n+1)/16(1/5)^n

ここで、 bn=an/5^n であったから

an/5^n=21/80-(4n+1)/16(1/5)^n ⇔ an=21/80・5^n-(4n+1)/16 ∴an=-(1/4)n-1/16+21/16・5^n-1

この式の右辺の n に1を代入すると、1となり、 a1 と一致するので、この式は n=1 のときにも成立する。