数学B 第3章 数学的帰納法 — 数学的帰納法の原理

問題1数学的帰納法の例

すべての自然数 n において

Σk(k+1)=(1/3)n(n+1)(n+2) ①

を証明せよ

本当にこの ① が成立するかどうか、試しに n=1 を代入してみると

(左辺)=Σk(k+1)=1・2=2 (右辺)=1/3・1・2・3=2

となり成立している。

次に、 n=2 の場合も

(左辺)=Σk(k+1)=1・2+2・3=8 (右辺)=1/3・2・3・4=8

で成立している。

また、 n=3 の場合も

(左辺)=Σk(k+1)=1・2+2・3+3・4 =20 (右辺)=1/3・3・4・5=20

で確かに成立している。

しかし、 n が 1,2,3 の場合に成立したからといって、 ① が全ての自然数で成立するかはまだわからない。なぜなら、 n=4 以上の場合の成立についてはまだ確かめていないからである。

かといって、4以上の n について1つずつ調べていったとしても、無限にある自然数を調べ尽くすことはできない。

ここで威力を発揮するのが数学的帰納法(mathematical induction)である。

ある自然数 m の場合に ① が成り立つと仮定したとき、その次の自然数 m+1 の場合にも ① が成り立つ

ことを証明しよう。なお、この証明は次の節「基本的な数学的帰納法」でおこなう。

これさえ証明してしまえば、 n=1 の場合には ① が成り立つことがすでに証明されているので、その次の n=2 の場合も成り立つ。

○ は成立が示されたもの。●は成立がまだ示されていないものとして並べると、次のようになる。番号は n の値であり、(前)はこの議論をする前、(後)はした後を表す。

また、 n=2 の場合が成り立つならば、同様にしてその次の n=3 の場合も成り立つ。

以降、冒頭のドミノ倒しの例のように、次々と ① が成り立つことが示される。この論法に終わりはないので、すべての自然数 n に対して ① が成り立つと結論付けてよい。