ベクトル方程式の練習問題（全8問・解答つき）

1. 

   \begin{eqnarray} \left{x=2+4t y=1+3t\right. \end{eqnarray}

   上式と下式を t について解くと、 t=(x-2)/4, t=(y-1)/3 となるから

   (x-2)/4=(y-1)/3 ⇔y-1=3/4(x-2) ⇔y=(3/4)x-1/2

2. 

   \begin{eqnarray} \left{x=4-3t y=2t\right. \end{eqnarray}

   上式と下式を t について解くと、 t=(x-4)/(-3), t=y/2 となるから

   (x-4)/(-3)=y/2 ⇔y=2/(-3)(x-4) ⇔y=-(2/3)x+8/3

3. \begin{eqnarray} \left{x=-1+2t y=3\right. \end{eqnarray}

   

   t が変化すると x はすべての実数をとるが、y は常に 3 であるから

   y=3 (x はすべての実数)。

4. 

   \begin{eqnarray} \left{x=-2 y=1-3t\right. \end{eqnarray}

   t が変化すると y はすべての実数をとるが、x は常に -2 であるから

   x=-2 (y はすべての実数)。

1. 線分OA を 2 : 1 に内分する点をC とおくと、 OC =(2/3)OA = (2/3)a であるから

   OP = (1 − t)OC + tOB

   つまり

   p =(2(1 − t)/3)a + tb

   と表せる。

2. 線分OA を 2 : 5 に外分する点をC、線分OB を 3 : 1に内分する点をD とおくと、 OC = − (2/3)OA = − (2/3)a, OD = (3/4)OB = (3/4)b であるから

   OP = (1 − t)OC + tOD

   つまり

   p =((-2(1 − t))/3)a + (3t/4)b

   と表せる。

   ここで、① p = (1 − t)a + tb

   は、 1 − t = s とおくことにより

   p = sa + tb (s + t = 1) ②

   と表すこともできる。このs, t に適当な条件をつけることにより、半直線や領域などを表すベクトル方程式をつくることができる。

1. まず、s をある定数 s’ (> 0)で固定し

   OP = s’a + tb (t > 0)

   を考えると、点Pは次の図の半直線上にある。

   

   よって、s を動かすと答えは下図網掛け部分となる。

   

2. まず、s をある定数 s’ (< 0)で固定し

   OP = s’a + tb (t > 0)

   を考えると、点Pは次の図の半直線上にある。

   

   よって、s を動かすと答えは下図網掛け部分となる。

   

3. OP = sa + tb は

   OP = sa + tb ⇔ OP = 5s/2((2/5)a) + 2t/3((3/2)b)

   と変形でき、条件より 5s/2+2t/3= 1であるから、答えは下図の直線部分となる。

   

4. OP = sa + tb は

   OP = sa + tb ⇔ OP = 3s/2((2/3)a) + 3t/2((2/3)b)

   と変形でき、条件より 3s/2+3t/2= 1であるから、答えは下図の直線部分となる。

   

5. まず、条件より s > 0, t > 0 であるから、点P は1.で求めた領域内にあることが必要。

   次に、 s+t の値を k (< 1) で固定する、つまり s+t = kとすると、条件より s > 0, t > 0 であるから k > 0 なので

   s + t = k ⇔ s/k + t/k= 1

   となり、 OP = sa + tb は

   OP = sa + tb ⇔ OP = s/k(ka)+ t/k(kb)

   と変形できるので、点P は次の図の線分上を動く。

   

   よって、 s + t の値を動かすと答えは下図網掛け部分となる。

   

直線l 上を動く点P の座標を(x, y) とおく。

1. AP ・ n = 0 ⇔ ( x − 2, y − 1) ・ (4,3)=0 ⇔ 4(x − 2) + 3(y − 1) = 0 ⇔ 4x + 3y − 11 = 0
2. AP ・ n = 0 ⇔ ( x − 4, y ) ・ (-3,2)=0 ⇔ − 3(x − 4) + 2y = 0 ⇔ 3x − 2y − 12 = 0
3. AP ・ n = 0 ⇔ ( x – (-1), y − 3) ・ (2,0)=0 ⇔ 2(x + 1) + 0(y − 3) = 0 ⇔ x+1 = 0
4. AP ・ n = 0 ⇔ ( x – (-2), y − 1) ・ (0,-3)=0 ⇔ 0(x + 2) − 3(y − 1) = 0 ⇔ y − 1 = 0

直線l 上の点をP(x1, y1) とおくと、P の座標に関して

ax1 + by1 + c = 0 ①

が成り立つ。

いま、PA をn に正射影したベクトルPA→n は、HAと等しいので、このPA→n の大きさがd となる。 ◀ 正射影ベクトルの内積での表し方◀ PA→n =((PA ・ n)/|n|²)n （注） 正射影ベクトルの内積での表し方 =(( x0 − x1, y0 − y1)・ (a,b))/(a² + b²)(a,b) =( a(x0 − x1) + b(y0 − y1))/( a² + b²)(a,b) =( ax0 + by0 − ax1 − by1)/( a² + b²)(a,b) =( ax0 + by0 + c )/( a² + b²)(a,b) （注） ①を使った

よって

|PA→n| =|( ax0 + by0 + c )/( a² + b²)|√( a² + b²) =((| ax0 + by0 + c |)/( a² + b²))√( a² + b²) =(| ax0 + by0 + c |)/( √( a² + b²))

つまり、 d =(| ax0 + by0 + c |)/( √( a² + b²))となる。

ここで、直線のベクトル方程式をまとめておこう。

◀ 両辺が0 以上なので、2 乗しても同値が保たれる。◀ |p −(a + b)/2|=(|b −a|)/2 ⇔ |p −(a + b)/2|²=(|b −a|²)/4 （注） 両辺が0 以上なので、2 乗しても同値が保たれる。 ⇔ |p|² − p ・ (a + b) + (|a + b|²)/4 =(|a|²− 2a ・ b + |b|²)/4 （注） |b −a|²=|a|²− 2a ・ b + |b|² ⇔ |p|² − p ・ (a + b) + a ・ b = 0 ⇔ (p − a) ・ (p − b) = 0

1. ◀ ベクトルの計算での「平方完成」|p|² − 2a ・ p +|a|²= 4 |a|² ⇔ |p −a|²= 4 |a|² （注） ベクトルの計算での「平方完成」 ⇔ |p −a|= 2 |a|

   よって、P はA(a) を中心とする半径 2 × OA の円を描く。

2. ◀ 両辺が0 以上なので、2 乗しても同値は保たれる◀ ◀ ベクトルの計算での「平方完成」|p −a| = 2 |p| ⇔ |p −a|² = (2|p|)² （注） 両辺が0 以上なので、2 乗しても同値は保たれる ⇔ |p|² − 2a ・ p +|a|²= 4 |p|² （注） |a +b|²=|a|² + 2a ・ b +|b|² ⇔ 3|p|² + 2a ・ p =|a|² ⇔ |p|² + (2/3)a ・ p =1/3|a|² ⇔ |p+(1/3)a|²=4/9|a|² （注） ベクトルの計算での「平方完成」 ⇔ |p+(1/3)a|=2/3|a|

   よって、P はB(− (1/3)a) を中心とする半径 2/3× OAの円を描く。

CP0とCP のなす角をθ として、この2 つのベクトルの内積を考えると

◀ CP0 ・ CP = CP0 × CP × cos θ ⇔ CP0 ・ CP = CP0² （注） CP をCP0 に正射影した ⇔ CP0 ・ CP = r² ⇔ ( p0 −c) ・ (p −c) = r²

接線の方程式は、 p =(x,y)とおき、いま得られた式に、 c =(x0,y0), p0 =(x1,y1), p =(x,y)を代入して

( p0 −c) ・ (p −c) = r² ⇔ (x1 − x0,y1 − y0)・ (x − x0,y − y0)= r² ⇔ (x1 − x0)(x − x0) + (y1 − y0)(y − y0) = r²

となる。

CP0 ・ P0P = 0より ( p0 −c) ・ (p − p0) = 0 もある。

以上、円のベクトル方程式をまとめておこう。