ベクトル方程式（空間）の練習問題（全4問・解答つき）
数学B「ベクトル方程式（空間）」（空間ベクトルと空間図形）の練習問題を4問まとめました。解答は各問のすぐ下に折りたたんであります。そのまま印刷すれば、解答の見えない問題プリントになります。
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問題1直線のベクトル方程式 I
以下のそれぞれについて、点A を通り方向ベクトルをd とする直線l の方程式を、媒介変数t を用いて表せ。また、媒介変数を用いない形で直線の方程式を表せ。
- A(2, 1, − 2), d = ( 4 3 1 )
- A(4, 0, 1), d = ( −3 2 0 )
- A(−1, 3, 0), d = ( 2 0 −1 )
- A(−2, 1, 0), d = ( 0 −3 0 )
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{ x = 2 + 4t y = 1 + 3t z = −2 + t .
それぞれの式をt について解くと、 t =(x – 2)/4、 t =(y – 1)/3、 t = z + 2 となるから
(x – 2)/4=(y – 1)/3= z + 2
{ x = 4 − 3t y = 2t z = 1 .
それぞれの式をt について解くと、 t = (x – 4)/(−3)、 t =y/2
となり、z は常に1 であるから
(x – 4)/(−3)=y/2, z = 1
{ x = −1 + 2t y = 3 z = −t .
それぞれの式をt について解くと、 t = (x + 1)/2、 t =z/(−1)となり、y は常に3 であるから
(x + 1)/2=z/(−1), y = 3
{ x = −2 y = 1 − 3t z = 0 .
t が変化するとy はすべての実数をとるが、x は常に−2 であり、zは常に0であるから
x = −2 , z = 0 , yはすべての実数
問題22 直線の距離
空間内に2 直線
l :OP =OA + tdl m :OQ =OB + sdm
がねじれの位置にあるとする（s, t は任意の実数をとる）。
- 直線l とm の距離d を、AB と dl × dm を用いて表せ。
- 点 A(5, 3, − 2)、 dl = ( 2 1 −1 )
、点 B(2, − 1, 6)、 dm = ( 1 −1 −5 )
とするとき直線l とmの距離を求めよ。
解答を見る
AB を dl × dm に正射影したベクトル AB→(dl × dm) はAB→(dl × dm) = (AB ・ (dl × dm))/(|dl × dm|²) dl × dm
であり、 dl × dm はdl ともdm とも垂直であるから、この正射影ベクトルは、点A をl 上で、点B をm 上でどのように動かしても変わらない。これはl にもm にも垂直な線分（共通垂線）に沿ったベクトルであり、その大きさ|AB→(dl × dm) | が2 直線の距離（l 上の点とm 上の点の距離の最小値）d であるから
|AB→(dl × dm) | =(|AB ・(dl × dm) |)/(|dl × dm|²)|dl × dm| =(|AB ・(dl × dm) |)/(|dl × dm|)
AB =OB−OA
= ( 2 −1 6 ) − ( 5 3 −2 ) = ( −3 −4 8 )
であり、 dl× dm = ( 2 1 −1 ) × ( 1 −1 −5 ) = ( −6 9 −3 )
であるから
d =(|AB ・ (dl × dm) |)/(|dl × dm|) =|( arrayc −3 −4 8 array ) ・ ( arrayc −6 9 −3 array ) | |( arrayc −6 9 −3 array ) | =(| (−3) ・ (−6) + (−4) ・ 9 + 8 ・ (−3) |)/√((−6)² + 9² + (−3)²) = 42/3√14=√14
問題3平面のベクトル方程式
点A(x0, y0, z0) と平面 ax + by + cz + d = 0 の距離をp とすると
p =(|ax0 + by0 + cz0 + d|)/( √(a² + b² + c²))
であることを証明せよ。
点(1, 1, 1) と平面 3x + 6y + 2z + 3 = 0 との距離を求めよ。
解答を見る
点A が平面上にないとき、点A から平面に下ろした垂線と平面との交点をP(x1, y1, z1) とすると、平面の法線ベクトル n = ( a b c )
とPA のなす角度は0° もしくは180° であるので
1 =|(n ・ PA)/(|n| ・ |PA|)| ⇔ |PA| =(|n ・ PA|)/|n| = | ( arrayc a b c array ) ・ ( arrayc x0 − x1 y0 − y1 z0 – z1 array ) | √(a² + b² + c²) ⇔ |PA| = (|a(x0 − x1) + b(y0 − y1) + c(z0 − z1) |)/( √(a² + b² + c²)) ⇔ |PA| = (|ax0 + by0 + cz0 + d|)/( √(a² + b² + c²))
ここで、P は垂線の足であり、 |PA| = p であるので、
p =(|ax0 + by0 + cz0 + d|)/( √(a² + b² + c²))となる。なお、点A が平面上にあるときは ax0 + by0 + cz0 + d = 0 かつ p = 0 となるので、上の式はこの場合にも成り立つ。
- の関係を用いて
p =(|3 ・ 1 + 6 ・ 1 + 2 ・ 1 + 3|)/( √(3² + 6² + 2²))= 2
問題4球面のベクトル方程式
以下の条件を満たす球面の方程式を求めよ。
- 中心が (1, − 2, 3) で、半径が4
- 中心が原点で、点(6, 3, 2) を通る
- 直径の両端が (5, − 2, 2), (1, 6, 4)
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中心と半径が与えられたとき球のベクトル方程式より
⇔ |p −c| = 4 ⇔ | ( arrayc x y z array ) − ( arrayc 1 −2 3 array ) | = 4 ⇔ √((x − 1)² + (y + 2)² + (z − 3)² )= 4 ∴(x − 1)² + (y + 2)² + (z − 3)² = 16
中心が原点なので、半径をr とすると
x² + y² + z² = r²
となる。ここで、(6, 3, 2) を通ることより
6² + 3² + 2² = r² ⇔ r² = 49
したがって、求める方程式は x² + y² + z² = 49 である。
直径の両端が与えられたときのベクトル方程式より
(p − a) ・ (p − b) = 0 ⇔ ( arrayc x – 5 y + 2 z – 2 array ) ・ ( arrayc x – 1 y – 6 z – 4 array ) = 0 ⇔ (x − 5)(x − 1) + (y + 2)(y − 6) + (z − 2)(z − 4) = 0 ⇔ (x − 3)² + (y − 2)² + (z − 3)² = 21