いろいろな数学的帰納法の練習問題（全3問・解答つき）
数学B「いろいろな数学的帰納法」（数学的帰納法）の練習問題を3問まとめました。解答は各問のすぐ下に折りたたんであります。そのまま印刷すれば、解答の見えない問題プリントになります。
印刷すると、開いている解答だけが一緒に刷られます
問題1いろいろな数学的帰納法～その１～
漸化式
cases a1=2 an+1=2an/(1+an) cases (n=1,2,…)
で定められる数列の一般項 an を n の式で表せ．
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漸化式 an+1=2an/(1+an) に n=1 を代入すると
a2=2a1/(1+a1)=2・2/(1+2)=4/3
また， n=2 を代入すると
a3=2a2/(1+a2)=(2・4/3)/(1+4/3)=8/7
また， n=3 を代入すると
a4=2a3/(1+a3)=(2・8/7)/(1+8/7)=16/15
となるので
an=2^n/(2^n-1)2
と推定できる．
以下，この推定が正しいことを数学的帰納法を用いて証明する．
n=1 のとき
n=m のとき( m はある自然数とする) が成り立つと仮定する，つまり
- によって，数学的帰納法からすべての自然数 n について， は成り立つ．
よって の一般項は
an=2^n/(2^n-1)
問題2いろいろな数学的帰納法～その２～
x+1/x=t とするとき，すべての自然数 n において
式 x^n+1/x^n は t の n 次多項式で表される 1
ことを証明せよ．
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n=1 のとき
n=m,m+1 のとき( m はある自然数とする) が成り立つと仮定する，つまり
- によって，数学的帰納法からすべての自然数 n について， は成り立つ．
問題3いろいろな数学的帰納法～その３～
次の式を満たす数列 {an} の一般項 an を n の式で表せ．
(Σak)²=Σak³,an>0 (n=1,2,3,…) 1
この問題は「証明せよ」ではないので，まず実験から答えを予想するところからはじめる．予想が立てば，それを証明してやるのだが， n=m+1 の場合の成立をいうのに， n=1,2,…,m-1,m の場合の成立を仮定する必要がある．
解答を見る
に n=1 を代入すると
(Σak)²=Σak³ ⇔ a1²=a1³ ∴a1=1
また n=2 を代入すると
(Σak)²=Σak³ ⇔ (a1+a2)²=a1³+a2³ ⇔ (1+a2)²=1³+a2³ ⇔ a2³-a2²-2a2=0 ⇔ a2(a2+1)(a2-2)=0 ∴a2=2
また n=3 を代入すると
(Σak)²=Σak³ ⇔ (a1+a2+a3)²=a1³+a2³+a3³ ⇔ (1+2+a3)²=1³+2³+a3³ ⇔ a3³-a3²-6a3=0 ⇔ a3(a3+2)(a3-3)=0 ∴a3=3
となるので
an=n2
と推定できる．
以下，この推定が正しいことを数学的帰納法を用いて証明する．
n=1 のとき
n≦ m ( m はある自然数とする)を満たす全ての n で， が成り立つと仮定する，つまり
- によって，数学的帰納法からすべての自然数 n について， は成り立つ．
よって を満たす一般項 an は
an=n