数学B 第3章数学的帰納法 — いろいろな数学的帰納法

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答えを推定してから数学的帰納法で証明する

「証明せよ」という問題でなくても，答えを予想できれば，それを証明することによって解答になる．

問題1いろいろな数学的帰納法～その１～

漸化式

$cases a1=2 an+1=2an/(1+an) cases (n=1,2,\dots)$

で定められる数列の一般項 $an$ を $n$ の式で表せ．

解答を見る

漸化式 $an+1=2an/(1+an)$ に $n=1$ を代入すると

$a2=2a1/(1+a1)=2・2/(1+2)=4/3$

また， $n=2$ を代入すると

$a3=2a2/(1+a2)=(2・4/3)/(1+4/3)=8/7$

また， $n=3$ を代入すると

$a4=2a3/(1+a3)=(2・8/7)/(1+8/7)=16/15$

となるので

$an=2^n/(2^n-1) ②$

と推定できる．

以下，この推定が正しいことを数学的帰納法を用いて証明する．

$n=1$ のとき
$n=m$ のとき( $m$ はある自然数とする) $②$ が成り立つと仮定する，つまり
1. によって，数学的帰納法からすべての自然数 $n$ について， $②$ は成り立つ．

よって $①$ の一般項は

$an=2^n/(2^n-1)$

$n=m,m+1$ を仮定して $n=m+2$ を示す

$n=m$ の場合を仮定しただけでは， $n=m+1$ の場合を証明できないときもある．このようなときは，さらに $n=m$ に加えて $n=m+1$ の場合も仮定した上で， $n=m+2$ の場合を証明してやるとよい．

問題2いろいろな数学的帰納法～その２～

$x+1/x=t$ とするとき，すべての自然数 $n$ において

式 $x^n+1/x^n$ は $t$ の $n$ 次多項式で表される $①$

ことを証明せよ．

解答を見る

$n=1$ のとき
$n=m,m+1$ のとき( $m$ はある自然数とする) $①$ が成り立つと仮定する，つまり
1. によって，数学的帰納法からすべての自然数 $n$ について， $①$ は成り立つ．

$n=1,2,\dots,m$ を仮定して $n=m+1$ を示す

問題3いろいろな数学的帰納法～その３～

次の式を満たす数列 ${an}$ の一般項 $an$ を $n$ の式で表せ．

$(Σak)²=Σak³,an>0 (n=1,2,3,\dots) ①$

この問題は「証明せよ」ではないので，まず実験から答えを予想するところからはじめる．予想が立てば，それを証明してやるのだが， $n=m+1$ の場合の成立をいうのに， $n=1,2,\dots,m-1,m$ の場合の成立を仮定する必要がある．

解答を見る

$①$ に $n=1$ を代入すると

$(Σak)²=Σak³ \Leftrightarrow a1²=a1³ ∴a1=1$

また $n=2$ を代入すると

$(Σak)²=Σak³ \Leftrightarrow (a1+a2)²=a1³+a2³ \Leftrightarrow (1+a2)²=1³+a2³ \Leftrightarrow a2³-a2²-2a2=0 \Leftrightarrow a2(a2+1)(a2-2)=0 ∴a2=2$

また $n=3$ を代入すると

$(Σak)²=Σak³ \Leftrightarrow (a1+a2+a3)²=a1³+a2³+a3³ \Leftrightarrow (1+2+a3)²=1³+2³+a3³ \Leftrightarrow a3³-a3²-6a3=0 \Leftrightarrow a3(a3+2)(a3-3)=0 ∴a3=3$

となるので

$an=n ②$

と推定できる．

以下，この推定が正しいことを数学的帰納法を用いて証明する．

$n=1$ のとき
$n≦ m$ ( $m$ はある自然数とする)を満たす全ての $n$ で， $②$ が成り立つと仮定する，つまり
1. によって，数学的帰納法からすべての自然数 $n$ について， $②$ は成り立つ．

よって $①$ を満たす一般項 $an$ は

$an=n$

最終更新: 2026-08-09

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質問の内容

数学B 第3章 数学的帰納法 — いろいろな数学的帰納法

答えを推定してから数学的帰納法で証明する

答えを推定してから数学的帰納法で証明する

問題1いろいろな数学的帰納法～その１～

n=m,m+1 を仮定して n=m+2 を示す

n=m,m+1 を仮定して n=m+2 を示す

問題2いろいろな数学的帰納法～その２～

n=1,2,…,m を仮定して n=m+1 を示す

n=1,2,…,m を仮定して n=m+1 を示す

問題3いろいろな数学的帰納法～その３～

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数学B 第3章数学的帰納法 — いろいろな数学的帰納法

$n=m,m+1$ を仮定して $n=m+2$ を示す

$n=m,m+1$ を仮定して $n=m+2$ を示す

$n=1,2,\dots,m$ を仮定して $n=m+1$ を示す

$n=1,2,\dots,m$ を仮定して $n=m+1$ を示す