数学B 第3章 数学的帰納法 — いろいろな数学的帰納法
答えを推定してから数学的帰納法で証明する
答えを推定してから数学的帰納法で証明する
「証明せよ」という問題でなくても，答えを予想できれば，それを証明することによって解答になる．
漸化式
で定められる数列の一般項
解答を見る
漸化式
また，
また，
となるので
と推定できる．
以下，この推定が正しいことを数学的帰納法を用いて証明する．
はある自然数とする) が成り立つと仮定する，つまり - によって，数学的帰納法からすべての自然数
について， は成り立つ．
- によって，数学的帰納法からすべての自然数
よって
式
ことを証明せよ．
解答を見る
はある自然数とする) が成り立つと仮定する，つまり - によって，数学的帰納法からすべての自然数
について， は成り立つ．
- によって，数学的帰納法からすべての自然数
実際に問題を解く場面は，いきなり上記のようにきれいに書き始められるようなことはないと言ってよい．実際には
成立を確認して， 成立を仮定し 成立を示そうとするのだが， 成立を示そうとしたときに，前提条件が足りないことに気が付く．そこで に加えて の場合も仮定した上で， の場合を証明するという発想に行き着くのである．
次の式を満たす数列
この問題は「証明せよ」ではないので，まず実験から答えを予想するところからはじめる．予想が立てば，それを証明してやるのだが，
解答を見る
また
また
となるので
と推定できる．
以下，この推定が正しいことを数学的帰納法を用いて証明する．
はある自然数とする)を満たす全ての で， が成り立つと仮定する，つまり - によって，数学的帰納法からすべての自然数
について， は成り立つ．
- によって，数学的帰納法からすべての自然数
よって
元記事: http://www.ftext.org/text/section/161（取得日 2026-08-07）
最終更新: 2026-08-07
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