ベクトルの内積の練習問題（全5問・解答つき）
数学B「ベクトルの内積」（平面ベクトルと平面図形）の練習問題を5問まとめました。解答は各問のすぐ下に折りたたんであります。そのまま印刷すれば、解答の見えない問題プリントになります。
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問題1内積の計算法則
次の計算が成り立つことを、内積の定義および内積の計算法則1.～3.を用いて証明せよ。なお、2. を証明する際には1. を使ってよい。
- (a + b) ・ c = a ・ c + b ・ c
- (sa + tb) ・ (ua + vb)
= su |a|²+ (sv + tu)a ・ b + tv |b|²
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- (a + b) ・ c = c ・ (a + b) （注） 計算法則1. = c ・ a +c ・ b （注） 計算法則3. = a ・ c + b ・ c （注） 計算法則1.
- (sa + tb) ・ (ua + vb) = (sa + tb) ・ (ua) + (sa + tb) ・ (vb) （注） 計算法則3. = (sa) ・ (ua) + (tb) ・ (ua) + (sa) ・ (vb) + (tb) ・ (vb) （注） 1. = su(a ・ a) + tu(b ・ a) + sv(a ・ b) + tv(b ・ b) （注） 計算法則1., 2. = su(a ・ a) + (tu + sv)a ・ b + tv(b ・ b) （注） 計算法則1. = su |a|²+ (tu + sv)a ・ b + tv |b|² （注） 定義
問題2意味のある演算とない演算
次に表す式のうち、無意味なものには×を、意味のあるものには○つけよ。
- a + a ・ b
- (a ・ b) ・ c
- a ・ b ・ c
- a(b ・ c)
- (a ・ b)/a
- (a ・ b)/|a|
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- （×）a はベクトルで a ・ b は実数。よって、ベクトルと実数の和となり無意味である。
- （○） a ・ b は実数でc はベクトル。よって、c の a ・ b 倍の意味をもつ。
- （×）2 つの・のうち、どちらを内積の記号とみるかで意味するものが異なるので無意味である。
- （○） b ・ c は実数でa はベクトル。よって、a の b ・ c 倍の意味をもつ。
- （×）ベクトルに除法はないので、分母にa がある時点で無意味である。
- （○） a ・ b は実数で|a| も実数であるのでその比を表す。
問題3外心の位置ベクトル
AB = 3, BC = 7, CA = 5 である△ABC がある。 AB = b, AC = c, △ABC の外心をO とするとき、以下の問いに答えよ。
- b ・ c を求めよ。
- AO をb とc をもちいて表せ。
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△ABC に∠A からみる余弦定理を使うと
AB・ AC・cos θ = (AB²+ AC²− BC²)/2 = (9 + 25 – 49)/2 =(−15)/2
であるから
b ・ c = AB・ AC・cos θ = (−15)/2
辺AB の中点をD、辺AC の中点をE とする。外心O は OA = OB = OC を満たすから、O は辺AB の垂直二等分線上にも、辺AC の垂直二等分線上にもある。
AO = xb + yc とおく。
まず、DO とAB は直交するから
DO ・ AB = 0 ⇔ (AO − AD)・ AB = 0 ⇔ (xb + yc − (1/2)b)・ b = 0 ⇔ (x − 1/2) |b|²+ yb ・ c = 0 ⇔ 9(x − 1/2)+ yb ・ c = 0 ⇔ 9(x − 1/2)− (15/2)y = 0 ①
また、EO とAC は直交するから
EO ・ AC = 0 ⇔ (AO − AE) ・ AC = 0 ⇔ (xb + yc − (1/2)c)・ c = 0 ⇔ xb ・ c +(y − 1/2)|c|²= 0 ⇔ xb ・ c + 25(y − 1/2)= 0 ⇔ − (15/2)x + 25(y − 1/2)= 0 ②
式①, ②を連立して
\begin{eqnarray}
\left{
6x − 5y = 3 −3x + 10y = 5
\right.
\Longleftrightarrow
\left{
x = 11/9 y = 13/15
\right.
\end{eqnarray}
よって、 AO =(11/9)b + (13/15)c。
問題4垂心の位置ベクトル
AB = 5, BC = 6, CA = 4 である△ABC がある。 AB = b, AC = c, △ABC の垂心をH とするとき、以下の問いに答えよ。
- b ・ c を求めよ。
- AH をb とc をもちいて表せ。
解答1を見る
△ABC に∠A からにらむ余弦定理を使うと
AB・ AC・cos θ = (AB²+ AC²− BC²)/2 = (25 + 16 – 36)/2 =5/2
であるから、 b ・ c = AB・ AC・cos θ = 5/2
AH = xb + yc とおく。
まず、CH とAB は直交するから
CH ・ AB = 0 ⇔ (AH − AC)・ AB = 0 ⇔ (xb + yc − c)・ b = 0 ⇔ x|b|²+ (y-1)b ・ c = 0 ⇔ 25x+ (y-1)5/2 = 0 ⇔ 10x+y = 1 ①
また、BH とAC は直交するから
BH ・ AC = 0 ⇔ (AH − AB) ・ AC = 0 ⇔ (xb + yc − b)・ c = 0 ⇔ (x-1)b ・ c +y|c|²= 0 ⇔ (x-1)5/2 + 16y= 0 ⇔ 5x+32y= 5 ②
式①, ②を連立して
\begin{eqnarray}
\left{
10x + y = 1 5x + 32y = 5
\right.
\Longleftrightarrow
\left{
x = 3/35 y = 1/7
\right.
\end{eqnarray}
よって、 AH =(3/35)b + (1/7)c。
解答2を見る
（【解答1】と同じ）
ベクトルの正射影を考え
点C から辺AB に下ろした垂線の足をD、点B から辺AC に下ろした垂線の足をE とすると、垂心H は線分CD と線分BE の交点である。AD はc のb への正射影ベクトルであるから
AD =((b ・ c)/|b|²)b =((5/2)/25)b = (1/10)b ①
同様にして
AE =((b ・ c)/|c|²)c =((5/2)/16)c = (5/32)c ②
である。
まず、点H は線分BE 上にあるから、 BH : HE = s :1 – s とおくと
AH = (1 − s)AB + sAE ⇔ AH = (1 − s)b + (5s/32)c ③
また、点H は線分CD 上にあるから、 CH : HD = t :1 – t とおくと
AH = tAD + (1 − t)AC ⇔ AH = (t/10)b + (1 − t)c ④
いま、b とc は1 次独立であるから、 ③, ④ より
{ arrayl 1 − s = t/10 5s/32 = 1 – t array . ⇔ { arrayl 10s + t = 10 5s + 32t = 32 array . ⇔ { arrayl s =32/35 t = 6/7 array .
よって、 AH =(3/35)b + (1/7)c。
覚えておきたい事項（1問）
暗記1ベクトルを用いた三角形の面積公式
次の図のように、a とb で張られる三角形の面積をSとする。
- S を|a| と|b| と a ・ b を用いて表せ。
- a =(ax,ay), b =(bx,by)であるとき、S をax, ay, bx, by を用いて表せ。
- 座標平面上に3 点A(2, 1), B(7, 2), C(4, 5) をとる。このとき、△ABC の面積を求めよ。
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a とb のなす角を θ (0° ≦ θ ≦ 180°) とおき、 |a| を三角形の底辺とみると、高さは
|b| sin θ とかけるから、三角形の面積S は
S = 1/2|a| × |b| sin θ （注） S = 1/2(底辺)×(高さ) = 1/2|a| |b| √(1 − cos² θ) （注） sin² θ + cos² θ = 1 より sin² θ = 1 −cos² θ であり、 0° ≦ θ ≦ 180° より sin θ ≧ 0 だから = (1/2)√(|a|² |b|² - |a|² |b|² cos² θ) = (1/2)√(|a|² |b|² - (a ・ b)²) （注） 内積の定義
よって、 S =(1/2)√(|a|² |b|² - (a ・ b)²)と表せる。
a =(ax,ay), b =(bx,by)のとき
|a| = √ax² + ay² |b| = √bx² + by² a ・ b = axbx + ayby
であるから、 S =(1/2)√(|a|² |b|² - (a ・ b)²)に代入して
S=1/2((ax² + ay²)( bx² + by²). .- (axbx + ayby)²)^1/2 = (1/2)√ax²by²+bx²ay²-2axbxayby =(1/2)√( (axby - bxay)²) =1/2| axby - bxay |
よって、 S =1/2| axby - bxay |と表せる。
AB =OB −OA =(7,2)−(2,1)=(5,1), AC =OC −OA =(4,5)−(2,1)=(2,4)
より、△ABC の面積S’は
S’= 1/2|5 ・ 4 − 1 ・ 2| = 9