数学B 第1章 数列の一般項と和 — 群数列

群数列の定義

群数列とは何か

下の数列のように，いくつかのまとまりで数列を考えたものを群数列(group sequence)という．

群数列では，次のように各群に番号をつけ，「第～群」と呼ぶことにしよう．

たとえば

第3群は (9,11,13,15,17) である．

第4群の一番初めの項は， 19 である．

などのように用いる．

また

のように，群で区切られてなくても，数列に何らかのまとまりがある場合には，下のよう に仕切りを入れて，自分で群にまとめるとよい．そうすることで群内の規則に注目でき，解答を進めることができるようになる．

群数列の基本的な考え方

群数列を考える際のポイント

群数列を見たら，問題を考える前に，まず次の2つの点について調べておくとよい．

1. 第 n 項 an がわかるときは求めておく．
2. 第1群から第 n 群までにいくつの項があるのか調べその数を ln とおく．

前ページの例で調べてみよう．

この数列は，初項1公差2の等差数列であるから

an=1+(n-1)×2=2n-1

とわかる．

また，第1群には項が1個，第2群には項が3個，第3群には項が5個， … ，第 n 群には項が 2n-1 個あるのがわかる．よって，第1群から第 n 群までに含まれる項の数 ln は

ln=1+3+5+…+(2n-1) =Σ(2k-1)=n²

と求まる．

もう1 つの例でも試してみよう．

この例で第 n 項はすぐにわかりそうにない．

また，第1群には項が1個，第2群には項が2個，第3群には項が3個， … ，第 n 群には項が n 個あるのがわかる．よって，第1群から第 n 群までに含まれる項の数 ln は

ln=1+2+3+…+n =Σk=n(n+1)/2

これら2つのポイントを押さえると，群数列の問題が考えやすくなる．

最終更新: 2026-08-09