数学B 第2章 漸化式 — 連立漸化式:alignedan+1 =pan+qbn bn+1 =ran+sbnaligned

漸化式

an+1=2an+bn bn+1=-2an+5bn

において、 (上式)+x×(下式) より

an+1+xbn+1=2an+bn +x(-2an+5bn) ⇔ an+1+xbn+1=(2-2x)an +(1+5x)bn ③

ここで、右辺の (2-2x)an+(1+5x)bn が、左辺と同じ形のかたまり an+xbn の定数倍になれば、等比数列の漸化式になる。そのためには、係数の比 (2-2x):(1+5x) が 1:x と等しくなればよい。そこで

1:x=2-2x:1+5x

となる x を求める、つまり方程式 x(2-2x)=1+5x を解くと

x(2-2x)=1+5x ⇔ 2x-2x²=1+5x ⇔ 2x²+3x+1=0 ⇔ (x+1)(2x+1)=0 ∴x=-1,-1/2

となるので、これらの値のとき数列 {an+xbn} は等比数列となる。

1. x=-1 のとき

   ③ は an+1-bn+1=4(an-bn) となるので、 cn=an-bn とおくと cn+1=4cn

   より、数列 {cn} は、初項 c1=a1-b1=1-(-1)=2 、公比 4 の等比数列となっている。よって cn=c14^n-1 =2・4^n-1 ここで、 cn=an-bn であったから cn=2・4^n-1 ⇔ an-bn=2・4^n-1 ④

2. x=-1/2 のとき

   ③ は an+1-(1/2)bn+1=3(an-(1/2)bn) となるので、 dn=an-(1/2)bn とおくと dn+1=3dn

   より、数列 {dn} は、初項 d1=a1-(1/2)b1=1+1/2=3/2 、公比 3 の等比数列となっている。よって dn=d13^n-1 =3/2・3^n-1 =3^n/2 ここで、 dn=an-(1/2)bn であったから dn=3^n/2 ⇔ an-(1/2)bn=3^n/2 ⑤

⑤-④ より

an-(1/2)bn-(an-bn)=3^n/2-2・4^n-1 ⇔ (1/2)bn=3^n/2-2・4^n-1 ∴bn=3^n-4^n

また、これを ④ に代入して

an-(3^n-4^n)=2・4^n-1 ⇔ an=2・4^n-1+(3^n-4^n) ∴an=3^n-2・4^n-1

漸化式

an+1=2an+bn ⑥ bn+1=-2an+5bn ⑦

⑥ より

bn=an+1-2an ⑧

また、この式で n のかわりに n+1 とおくと

bn+1=an+2-2an+1 ⑨

⑧ と ⑨ を、それぞれ ⑦ に代入すると

bn+1=-2an+5bn ⇔ an+2-2an+1=-2an+5(an+1-2an) ∴an+2-7an+1+12an=0

また、 ⑥ より

a2=2a1+b1=2+(-1)=1

である。

ここで、漸化式 an+2-7an+1+12an=0 は

t²-7t+12=0

を満たす t 、つまり

t²-7t+12=0 ⇔ (t-3)(t-4)=0 ∴t=3,4

を用いて

an+2-3an+1=4(an+1-3an) ⑩ an+2-4an+1=3(an+1-4an) ⑪

と2通りに変形できる。

1. ⑩ について

   cn=an+1-3an とおくと、数列 {cn} は cn+1=4cn を満たすので cn=c14^n-1 =(a2-3a1)4^n-1 =-2・4^n-1 ここで、 cn=an+1-3an であるから an+1-3an=-2・4^n-1 ⑫

2. ⑪ について

   dn=an+1-4an とおくと、数列 {dn} は dn+1=3dn を満たすので dn=d13^n-1 =(a2-4a1)3^n-1 =-3・3^n-1 =-3^n ここで、 dn=an+1-4an であるから an+1-4an=-3^n ⑬

⑫-⑬ より

an=-2・4^n-1+3^n ⑭

また、この式で n のかわりに n+1 とおくと

an+1=-2・4^n+3^n+1 ⑮

⑭ と ⑮ を ⑧ に代入して

bn=-2・4^n+3^n+1-2(-2・4^n-1+3^n) ⇔ bn=-2・4^n+3・3^n+4^n-2・3^n ∴bn=3^n-4^n