数学B 第2章 漸化式 — 連立漸化式:alignedan+1 =pan+qbn bn+1 =ran+sbnaligned

漸化式

an+1=2an+bn bn+1=-2an+5bn

において， (上式)+x×(下式) より

an+1+xbn+1=2an+bn +x(-2an+5bn) ⇔ an+1+xbn+1=(2-2x)an +(1+5x)bn ③

ここで

1:x=2-2x:1+5x

となる x を求める，つまり方程式 x(2-2x)=1+5x を解くと

x(2-2x)=1+5x ⇔ 2x-2x²=1+5x ⇔ 2x²+3x+1=0 ⇔ (x+1)(2x+1)=0 ∴x=-1,-1/2

となるので，これらの値のとき数列 {an+xbn} は等比数列となる．

1. x=-1 のとき

   ③ は an+1-bn+1=4(an-bn) となるので，数列 {an-bn} は公比 4 の等比数列である．初項は a1-b1=1-(-1)=2 であるから an-bn=2・4^n-1 ④

2. x=-1/2 のとき

   ③ は an+1-1/2bn+1=3(an-1/2bn) となるので，数列 {an-1/2bn} は公比 3 の等比数列である．初項は a1-1/2b1=1+1/2=3/2 であるから an-1/2bn=3/2・3^n-1=3^n/2 ⑤

⑤-④ より

an-1/2bn-(an-bn)=3^n/2-2・4^n-1 ⇔ 1/2bn=3^n/2-2・4^n-1 ∴bn=3^n-4^n

また，これを ④ に代入して

an-(3^n-4^n)=2・4^n-1 ⇔ an=2・4^n-1+(3^n-4^n) ∴an=3^n-2・4^n-1

漸化式

an+1=2an+bn ⑥ bn+1=-2an+5bn ⑦

⑥ より

bn=an+1-2an ⑧

また，この式で n のかわりに n+1 とおくと

bn+1=an+2-2an+1 ⑨

⑧ と ⑨ を，それぞれ ⑦ に代入すると

bn+1=-2an+5bn ⇔ an+2-2an+1=-2an+5(an+1-2an) ∴an+2-7an+1+12an=0

また， ⑥ より

a2=2a1+b1=2+(-1)=1

である．

ここで，漸化式 an+2-7an+1+12an=0 は

t²-7t+12=0

を満たす t ，つまり

t²-7t+12=0 ⇔ (t-3)(t-4)=0 ∴t=3,4

を用いて

an+2-3an+1=4(an+1-3an) ⑩ an+2-4an+1=3(an+1-4an) ⑪

と2通りに変形できる．

1. ⑩ について

   数列 {an+1-3an} は公比 4 の等比数列である．初項は a2-3a1=1-3=-2 であるから an+1-3an=-2・4^n-1 ⑫

2. ⑪ について

   数列 {an+1-4an} は公比 3 の等比数列である．初項は a2-4a1=1-4=-3 であるから an+1-4an=-3・3^n-1=-3^n ⑬

⑫-⑬ より

an=-2・4^n-1+3^n ⑭

また，この式で n のかわりに n+1 とおくと

an+1=-2・4^n+3^n+1 ⑮

⑭ と ⑮ を ⑧ に代入して

bn=-2・4^n+3^n+1-2(-2・4^n-1+3^n) ⇔ bn=-2・4^n+3・3^n+4^n-2・3^n ∴bn=3^n-4^n