数学B 第7章 空間ベクトルと空間図形 — 内分点・外分点の位置ベクトル（空間）

空間内での位置ベクトル

空間内での位置ベクトル

空間内でも平面上のときと同様にして，基準とする点Oをあらかじめ定めておくと，任意の点 P の位置は

p =OP

というp によって表すことができる．

このp を，点O に関する点P への位置ベクトルという．また，位置ベクトルがp である点P を，P (p) と表す．

点Oに関して，2 点A， B がそれぞれ，A(a)， B(b) であるとき

AB =OB −OA

であるから，AB は

AB = b − a

と表される．

つまり，AB は「終点B の位置ベクトルから，始点A の位置ベクトルを引いた差」に等しい．

空間内での内分点・外分点の位置ベクトル

内分・外分点の位置ベクトル

点Oに関して空間内の2 点A(a)， B(b)をとるとき，線分AB を m : nの比に内分する点Pの位置ベクトルp，および m : n（ただし m ≠ n）の比に外分する点Q の位置ベクトルq はa，b，m，nを用いて次のように表すことができる．

p = (na + mb)/(m + n) , q =(−na + mb)/(m – n)

これより，2 点A(ax, ay, az)， B(bx, by, bz)を結ぶ線分ABを m : n に内分する点をP，外分する点をQ とすると，点P， Qの座標は次のようになる．

P(nax + mbxm + n,nay + mbym + n,naz + mbzm + n) Q(−nax + mbxm – n,−nay + mbym – n,−naz + mbzm – n)

空間内の三角形の重心

点O に関して空間内の3 点A(a)，B(b)，C(c) をとるとき，△ABC の重心G の位置ベクトルg はa，b，cを用いて次のように表すことができる．

g =(a + b +c)/3

これより，3 点A(ax, ay, az)，B(bx, by, bz)，C(cx, cy, cz) を結んでできる空間内の三角形の重心をGとすると，点Gの座標は次のようになる．

G(ax + bx +cx3,ay + by +cy3,az + bz +cz3)

問題1空間内の三角形の重心

次の図のような平行六面体において，△EDB，△FAC，△CFH，△DGEの重心をそれぞれ，G1，G2，G3，G4 とするとき，この4 点は平行四辺形をなすことを証明せよ．

解答を見る

AB = a， AD = b， AE = c とし，位置ベクトルはすべて点A を基準にとることにする．このとき

AC = a + b， AF = a + c AH = b + c， AG = a + b + c

であるから，G1，G2，G3，G4の位置ベクトル，g1，g2，g3，g4 は

g1 = (1/3)a + (1/3)b + (1/3)c （注） 『空間内の三角形の重心』 g2 = (2/3)a + (1/3)b + (1/3)c （注） 『空間内の三角形の重心』 g3 = (2/3)a + (2/3)b + (2/3)c （注） 『空間内の三角形の重心』 g4 = (1/3)a + (2/3)b + (2/3)c （注） 『空間内の三角形の重心』

となり

G1G2 = g2 − g1 = (1/3)a （注）『空間内での位置ベクトル』 G3G4 = g4 − g3 = − (1/3)a （注）『空間内での位置ベクトル』

であるから， G1G2 = −G3G4 =G4G3 となり，四角形G1G2G3G4 の1組の対辺G1G2 とG4G3 は平行で長さが等しい．よって，この4 点は平行四辺形をなすことがわかる．

問題2内分点・外分点の位置ベクトル

四面体O-ABC で，AB を 1 : 2 に内分する点をM，OCの中点をN，MN を 2 : 3 に内分する点をK，△OBC の重心をG とするとき，3 点A，K，G は同一直線上にあることを示せ．

解答を見る

OA = a，OB = b，OC = c とおくと，

ON = (1/2)c OM = (2/3)a + (1/3)b （注） 空間内での内分点・外分点 の位置ベクトル OG = (1/3)b +(1/3)c （注） 空間内の三角形の重心 OK = (3OM + 2ON)/5 = 1/5 (2a + b +c) （注） 空間内での内分点・外分点 の位置ベクトル AK =OK −OA = 1/5 (−3a + b +c) AG =OG −OA =1/3 (−3a + b +c)

したがって， AG = (5/3)AK となるので，A，K，Gは一直線上にある．

最終更新: 2026-08-13